Ne propongo un altro (diverso) : - )

[Giova411]

Questo è l'ultimo che ho trovato...
Non divertitevi troppo però...

[Giova411]

Visto che nesssuno mi caga riporto le mie soluzioni... Non ridete, è come sparare sulla croce rossa!

Punto_1.
2 e 4 sono stati assorbenti, quindi mi verrebbe da dire che sono ricorrenti in se stessi. L'ho detta la stro***tina?!
1 e 3 sono transitori perché se vanno in 2 o 4 non sono più chiamati in causa.

Punto_2.
La matrice non è regolare perché presenta degli "uno" sulla diagonale principale e non ci sarà un $n$ tale che $P^n$ abbia tutti gli elementi maggiori di zero. Per tale motivo non ammette una misura invariante unica.
Forse ammette infinite invarianti?! Oppure a lungo andare si avrà o $(0,1,0,0)$ o $(0,0,0,1)$?! L'ho detta la stro***tina?!

Punto_3.
$P(X_n=1|X_0=1)= (1/2)^n*1/4=1/2$ ma si può vedere ad occhio perché 1 o va in 3 o resta in se stesso. Deve escludere la possibilità di andare in 2 e 4. Quindi la probabilità che all'ennesima transizione, partendo da 1, si ritorni in uno dovrebbe essere $1/2$. Lo stesso vale per $P(X_n=1|X_0=3) =1/2$. Invece $P(X_n=1|X_0=2) =0$ perché 2 è assorbente, quindi anche $P(X_n=1|X_0=4) =0$ perché 4 è assorbente.

Punto_4.
$P(X_n=3|X_0=1) $ in questo caso è uguale a $P(X_n=1|X_0=3) =1/2$ L'ho detta la stro***tina?!

Ora un buon esercizio potrebbe essere: "trovare le stro***tine"

E come dice il mitico Luciano Onder (seduto, come sempre, con una gamba distesa e l'altra no): "Bene, per oggi è tutto, arrivederci alla prossima puntata di Medicina33. Arrivederci!"

[_luca.barletta]

Metto senza spoiler, altrimenti uccido definitivamente questo 3d

1. Non credo si possa definirli ricorrenti in sé stessi, diciamo solo che 2 e 4 sono assorbenti.

2. Non esiste un'unica distribuzione asintotica. Ce ne sono due e sono quelle che hai elencato.

Per ora mi fermo qui

[_luca.barletta]

3. Indico con $uls_0$ le probabilità iniziali degli stati, con $uls_n$ le probabilità al passo $n$, e con $ululP$ la matrice di transizione; allora al passo $n$ si avrà $uls_n=uls*ululP^n$. Il testo chiede solo la probabilità di trovarsi nello stato 1, quindi interessa solo la prima colonna della matrice $ululP$, che indico con $ululP^((1))$. I risultati sono:
${((uls_n*(ululP^((1)))^n)^((1))=1/4*(1/2)^n,uls_0=[1 0 0 0]),((uls_n*(ululP^((1)))^n)^((1))=0,uls_0=[0 1 0 0]),((uls_n*(ululP^((1)))^n)^((1))=1/4*(1/2)^n,uls_0=[0 0 1 0]),((uls_n*(ululP^((1)))^n)^((1))=0,uls_0=[0 0 0 1]):}$

[_luca.barletta]

4. Con argomentazioni analoghe a quelle del punto 3 si trova $1/4^n$

[Giova411]

Col cinese o senza?!
Sei un Grande!!! Cioé GRANDE, MA GRANDEEE!!!

Ho capito tutto!!!

[Giova411]

io sai che avevo fatto? (diciamo solo il primo caso nel punto 3)
Avevo moltiplicato il vettore iniziale per la matrice...

$s_0 (1,0,0,0) * P^(1) = s_1 = (1/4, 1/4, 1/4, 1/4)$

$s_1 (1/4, 1/4, 1/4, 1/4) * P^(1) = s_2 = (1/8, 3/8, 1/8, 3/8)$

$s_2 (1/8, 3/8, 1/8, 3/8) * P^(1) = s_3 = (1/16, 7/16, 1/16, 7/16)$

....
Guardando il primo elemento dei vettori pensavo di trovare $s_n = ( [(1/2)^n * 1/4], "[.....]" , "[.....]" , "[.....]")$

Ecco perché ero arrivato a quella soluzione...

[_luca.barletta]

C'eri andato vicino, hai scritto male la soluzione finale

[Giova411]

Ma dai? Ero a tanto così?!
E dove ho gazzabugliato?

[Giova411]

Forse è uno si e uno no perché in quello no sono nell'altro stato transitorio?! Non so se mi son spiegato...

[_luca.barletta]

Bene, per me sei promosso! Ho fatto i conti a mente e mi son impapocchiato io, ora edito

[Giova411]

Quindi $1/4*(1/2)^n$ era giusto ?!?! Ero dopato quel giorno?! Quindi $1/2$....



PS: il nuovo cinesino è tosto? Lo assumiamo?

[_luca.barletta]

Purtroppo rimane il fatto che avevi scritto male la sol: perché hai messo $1/4(1/2)^n=1/2$?

[Giova411]

Senti questa:
avevo pensato ad una geometrica di ragione (1/2) quindi che converge a 2...

(Non ridere però!)

[Giova411]

E poi mi sono dato ragione perché se rimango nei due transitori, e voglio rimanerci, ho 2 possibilità di scelta. Per rispondere al punto dico 1/2 di prob di essere nello stato 1... (e non ridere, dai...)

[_luca.barletta]

Sì, però manca la sommatoria...
e poi una $uls_0*ululP^n$ dovrà per forza di cose dipendere da una $n$

[Giova411]

Ok, lasciamo $1/4*(1/2)^n $ e non diciamolo a nessuno...
E' il nostro "piccolo segreto"...

Luca Grazie!

Arrivederci