Naturalità Lemma di Yoneda
Ho alcuni problemi a comprendere il Lemma di Yoneda.
La biezione [tex]\psi: Nat(Hom(A, - ),F(A)) \to F(A)[/tex] mi è chiara, non riesco a capire come dimostrarne la naturalità.
Per fare questo dovrei considerare due funtori:
[tex]E,N:Set^C \times C\ \to Set[/tex]
Il primo mi è chiaro come opera:
sugli oggetti [tex]E(F,c)=F(c)[/tex]
sulle frecce [tex]E(\gamma,f)=F(f)[/tex]
Il secondo non mi è chiaro come opera sulle frecce
sugli oggetti [tex]N(F,c)=Nat(Hom(c, - ),F(c))[/tex].
Qualcuno mi sa chiarire la questione?
Capito questo penso che la naturalità sia abbastanza automatica
Grazie
La biezione [tex]\psi: Nat(Hom(A, - ),F(A)) \to F(A)[/tex] mi è chiara, non riesco a capire come dimostrarne la naturalità.
Per fare questo dovrei considerare due funtori:
[tex]E,N:Set^C \times C\ \to Set[/tex]
Il primo mi è chiaro come opera:
sugli oggetti [tex]E(F,c)=F(c)[/tex]
sulle frecce [tex]E(\gamma,f)=F(f)[/tex]
Il secondo non mi è chiaro come opera sulle frecce
sugli oggetti [tex]N(F,c)=Nat(Hom(c, - ),F(c))[/tex].
Qualcuno mi sa chiarire la questione?
Capito questo penso che la naturalità sia abbastanza automatica
Grazie
Risposte
Devi dimostrare che la corrispondenza \((A,F)\mapsto {\rm Nat}(\hom(-,A),F)\) è naturale in $A$ e in $F$: questo discende dal fatto che il bifuntore hom di una categoria qualsiasi manda frecce $X\to Y$ in trasformazioni naturali \(\hom(Y,-)\Rightarrow\hom(X,-)\) o \(\hom(-,X)\Rightarrow\hom(-,Y)\). Prova a vedere la dimostrazione qui (pag. 28, §1.2)
hum... per cui:
data una freccia \( f:A \to B \)
posso associare a questa una freccia
\( \psi_f: Nat(Hom(A, - ),F) \to Nat(Hom(B, - ),F) \)
che presa \( \gamma \in Nat(Hom(A, - ),F)\), per [tex]\forall c \in Ob(C)[/tex] e [tex]\forall g \in Hom(B,c)[/tex]
[tex]\psi_f( \gamma)_c(g)=\gamma_c(gof)[/tex]
[tex]\psi_f( \gamma)[/tex] è una trasformazione naturale che fa commutare i vari diagrammi, e mi dà la naturalità in [tex]A[/tex].
La naturalità in [tex]F[/tex] non mi da problemi invece.
è giusto?
data una freccia \( f:A \to B \)
posso associare a questa una freccia
\( \psi_f: Nat(Hom(A, - ),F) \to Nat(Hom(B, - ),F) \)
che presa \( \gamma \in Nat(Hom(A, - ),F)\), per [tex]\forall c \in Ob(C)[/tex] e [tex]\forall g \in Hom(B,c)[/tex]
[tex]\psi_f( \gamma)_c(g)=\gamma_c(gof)[/tex]
[tex]\psi_f( \gamma)[/tex] è una trasformazione naturale che fa commutare i vari diagrammi, e mi dà la naturalità in [tex]A[/tex].
La naturalità in [tex]F[/tex] non mi da problemi invece.
è giusto?
\(X\mapsto \hom(X,-)\) e' un funtore, no?
\(F\mapsto Nat(-,F)\) e' un funtore, allo stesso modo.
Composizione di funtori e' un funtore? Si'!
Allora uno non fa altro che considerare \( f\mapsto Nat(f,F)\colon Nat(Hom(A, - ),F) \to Nat(Hom(B, - ),F)\)
\(F\mapsto Nat(-,F)\) e' un funtore, allo stesso modo.
Composizione di funtori e' un funtore? Si'!
Allora uno non fa altro che considerare \( f\mapsto Nat(f,F)\colon Nat(Hom(A, - ),F) \to Nat(Hom(B, - ),F)\)
Oddio, tutto funziona!
Grazie!
Ma se fisso F e faccio variare solo X trovo la stessa cosa che avevo scritto prima, giusto?
Grazie!
Ma se fisso F e faccio variare solo X trovo la stessa cosa che avevo scritto prima, giusto?
Si'; quello che succede e' che la trasformazione naturale \(\gamma\colon \hom(A,-)\to F\) viene composta con la trasformazione naturale tra i funtori \(\hom(B,-)\to \hom(A,-)\) indotta da $f$: quello che accade in ogni categoria \(\bf C\) e' che il bifuntore \(\hom\) (quale che sia volta per volta il suo significato) induce trasformazioni naturali \(f^*\colon {\bf C}(B,-)\to {\bf C}(A,-)\) e \(f_*\colon {\bf C}(-,A)\to {\bf C}(-,B)\), data \(f\colon A\to B\). Tu allora stai considerando la funzione di insiemi
\[
{\rm Nat}(\mathsf{y}_{A},F)\longrightarrow {\rm Nat}(\mathsf{y}_{B},F)
\]
definita da \(\Big(\gamma\colon \mathsf{y}_A\Rightarrow F\Big)\mapsto \Big(\gamma\circ f^* \Big)\).
Se le componenti di \(\gamma\) sono \(\gamma_X\colon \hom(A,X)\to FX\), le componenti di \(\gamma\circ f^*\) sono esattamente \(\gamma_X\circ u\circ f\), per \(u\colon B\to X\).
\[
{\rm Nat}(\mathsf{y}_{A},F)\longrightarrow {\rm Nat}(\mathsf{y}_{B},F)
\]
definita da \(\Big(\gamma\colon \mathsf{y}_A\Rightarrow F\Big)\mapsto \Big(\gamma\circ f^* \Big)\).
Se le componenti di \(\gamma\) sono \(\gamma_X\colon \hom(A,X)\to FX\), le componenti di \(\gamma\circ f^*\) sono esattamente \(\gamma_X\circ u\circ f\), per \(u\colon B\to X\).
Perfetto grazie mille.
già che ci sono ti chiedo un'altra cosa.
Sto studiando i rivestimenti e ho visto che consigliavi il may, che ne dà una trattazione categoriale.
C'è un libro del genere che si occupa delle estensioni di campi, cioè che ripercorre i risultati di base della teoria dal punto di vista delle categorie?
(mi sembra di aver capito che i due argomenti sono piuttosto correlati)
già che ci sono ti chiedo un'altra cosa.
Sto studiando i rivestimenti e ho visto che consigliavi il may, che ne dà una trattazione categoriale.
C'è un libro del genere che si occupa delle estensioni di campi, cioè che ripercorre i risultati di base della teoria dal punto di vista delle categorie?
(mi sembra di aver capito che i due argomenti sono piuttosto correlati)
Sì, i due problemi sono profondamente correlati: http://www.scienzematematiche.it/forum/ ... f=6&t=3509
ma c'è un libro che tratta la teoria di Galois per i campi nello stesso modo il cui il May tratta i rivestimenti?
Piu' che per i campi, tu hai bisogno di una teoria dei rivestimenti per gli schemi.
E di libri che la fanno ce ne sono molti, a partire da SGA1, ma lo fanno da un punto di vista prettamente algebro-geometrico (proprio perche' tutto e' nato con il lavoro di Grothendieck che cercava di capire "perche`" un gruppo di Galois si comportasse come un gruppo fondamentale, e viceversa); un esempio di libro che espone la cosa in linguaggio elementare e' il libro di Szamuely (click), oppure le note di Hendrik Lenstra (clack). Ti invito anche a dare un'occhiata al capitolo di "Galois Theory of Linear Differential Equations", di Van der Put e Singer (cleck) per una introduzione molto chiara e concisa alla teoria delle categorie tannakiane.
Se vuoi uscire dall'ambito aritmetico, potrebbe poi interessarti dare anche un'occhiata al libro di Borceux e Janelidze "Galois theories", e al recente (risale a meno di un anno fa) articolo di Olivia Caramello "Topological Galois Theory".(arxiv), per un punto di vista diverso.
E di libri che la fanno ce ne sono molti, a partire da SGA1, ma lo fanno da un punto di vista prettamente algebro-geometrico (proprio perche' tutto e' nato con il lavoro di Grothendieck che cercava di capire "perche`" un gruppo di Galois si comportasse come un gruppo fondamentale, e viceversa); un esempio di libro che espone la cosa in linguaggio elementare e' il libro di Szamuely (click), oppure le note di Hendrik Lenstra (clack). Ti invito anche a dare un'occhiata al capitolo di "Galois Theory of Linear Differential Equations", di Van der Put e Singer (cleck) per una introduzione molto chiara e concisa alla teoria delle categorie tannakiane.
Se vuoi uscire dall'ambito aritmetico, potrebbe poi interessarti dare anche un'occhiata al libro di Borceux e Janelidze "Galois theories", e al recente (risale a meno di un anno fa) articolo di Olivia Caramello "Topological Galois Theory".(arxiv), per un punto di vista diverso.
Temo che per ora mi manchino troppi prerequisiti di algebra commutativa per capire per bene gli schemi. Stavo cercando qualcosa di un pò diverso, cioè qualcosa che mi ridicesse le cose che so già sulla teoria di Galois per i campi in modo categoriale, per fare un pò di pratica e guardare le cose da un altro punto di vista.
Io ho scritto delle note di teoria di Galois che danno la definizione di corrispondenza di Galois in termini categoriali; credo pero' che ad esigere formalismo spinto (pro-gruppi, ad esempio) sia la teoria di Galois infinita.
Vedi in particolare l'osservazione 9 qui, e qualche sprazzo di discussione sulle definizioni categoriali per la topologia di Krull.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo