Naturalità degli omomorfismi di connessione
Sia data una mappa di sequenze esatte corte di moduli su un fissato anello $R$
(le righe sono esatte e i quadrati commutano).
Allora esistono sequenze esatte corte di risoluzioni proiettive $0 to P_A to P_B to P_C to 0$ e $0 to P_(A') to P_(B') to P_(C') to 0$ ed esistono mappe di complessi $P_A to P_(A') $, $P_B to P_(B')$ e $P_C \to P_(C')$ che inducono rispettivamente $\alpha$, $ \beta$ e $\gamma$.
Sia \( \mathcal{F}\) un funtore additivo esatto a destra. Allora le due sequenze esatte corte di risoluzioni inducono altrettante sequenze esatte lunghe di omologia:
\[ \cdots \rightarrow \operatorname{L}_{i+1}(\mathcal{F}(C)) \xrightarrow{\delta_{i+1}} \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(A)) \rightarrow \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(B)) \rightarrow \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(A)) \rightarrow\cdots \] \[ \cdots \rightarrow \operatorname{L}_{i+1}(\mathcal{F}(C')) \xrightarrow{\delta'_{i+1}} \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(A')) \rightarrow \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(B')) \rightarrow \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(A')) \rightarrow\cdots \]
Dovrei provare che gli omomorfismi di connessione $\delta_i$ sono naturali, cioè che si hanno diagrammi commutativi
ove le mappe verticali sono quelle indotte da $P_C \to P_(C')$ e $P_A to P_(A') $ (secondo il suggerimento del libro).
Non ho proprio idea di come fare.
Speravo che la mappa di sequenze esatte corte di partenza inducesse una mappa di sequenze esatte corte di risoluzioni
ma non vedo alcun motivo per cui i quadrati commutino: ho solo uguaglianze a meno di omotopia. Forse dovrei sfruttare il fatto che mappe omotope inducono le stesse mappe sui moduli d'omologia, ma come?
(le righe sono esatte e i quadrati commutano).
Allora esistono sequenze esatte corte di risoluzioni proiettive $0 to P_A to P_B to P_C to 0$ e $0 to P_(A') to P_(B') to P_(C') to 0$ ed esistono mappe di complessi $P_A to P_(A') $, $P_B to P_(B')$ e $P_C \to P_(C')$ che inducono rispettivamente $\alpha$, $ \beta$ e $\gamma$.
Sia \( \mathcal{F}\) un funtore additivo esatto a destra. Allora le due sequenze esatte corte di risoluzioni inducono altrettante sequenze esatte lunghe di omologia:
\[ \cdots \rightarrow \operatorname{L}_{i+1}(\mathcal{F}(C)) \xrightarrow{\delta_{i+1}} \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(A)) \rightarrow \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(B)) \rightarrow \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(A)) \rightarrow\cdots \] \[ \cdots \rightarrow \operatorname{L}_{i+1}(\mathcal{F}(C')) \xrightarrow{\delta'_{i+1}} \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(A')) \rightarrow \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(B')) \rightarrow \operatorname{L}_{i}(\mathcal{F}(A')) \rightarrow\cdots \]
Dovrei provare che gli omomorfismi di connessione $\delta_i$ sono naturali, cioè che si hanno diagrammi commutativi
ove le mappe verticali sono quelle indotte da $P_C \to P_(C')$ e $P_A to P_(A') $ (secondo il suggerimento del libro).
Non ho proprio idea di come fare.
Speravo che la mappa di sequenze esatte corte di partenza inducesse una mappa di sequenze esatte corte di risoluzioni
ma non vedo alcun motivo per cui i quadrati commutino: ho solo uguaglianze a meno di omotopia. Forse dovrei sfruttare il fatto che mappe omotope inducono le stesse mappe sui moduli d'omologia, ma come?
Risposte
La mappa di successione esatte corte di risoluzioni esiste, ma la devi costruire a mano procedendo per induzione ed utilizzando ad ogni passo la proprietà di sollevamento dei proiettivi.
Per esempio, per ottenere la mappa $P_B \to P_{B'}$ non dovrai sollevare $B \to B'$, ma la composizione $P_B \to P_C \to P_{C'}$ (lungo $P_{B'} \to P_{C'}$).
Per esempio, per ottenere la mappa $P_B \to P_{B'}$ non dovrai sollevare $B \to B'$, ma la composizione $P_B \to P_C \to P_{C'}$ (lungo $P_{B'} \to P_{C'}$).
Ti ringrazio della risposta!
Credo di aver capito quello che intendi, però non mi è chiaro se, sollevando in questo modo, commuta il diagramma
ove ho indicato con i pedici 0 i primi moduli delle risoluzioni proiettive.
Credo di aver capito quello che intendi, però non mi è chiaro se, sollevando in questo modo, commuta il diagramma
ove ho indicato con i pedici 0 i primi moduli delle risoluzioni proiettive.
L'horseshoe lemma che trovi a pagina 37 di Introduction to homological algebra di Weibel (lemma 2.2.8) ti dice che puoi scegliere $P_B = P_A \oplus P_C$ e $P_{B'} = P_{A'} \oplus P_{C'}$.
In questo modo, diventa praticamente ovvia l'esistenza della mappa di successioni esatte corte che stai cercando.
In questo modo, diventa praticamente ovvia l'esistenza della mappa di successioni esatte corte che stai cercando.
Grazie!
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