N è privo di punti di accumulazione in R?
Ciao a tutti,
sul libro di Analisi Matematica che uso trovo scritto "L'insieme N è privo di punti di accumulazione per R".
Ciò significa che non esiste alcun punto di accumulazione per N in R.
Cioè che:
∀x∈R, ∃ U(x) | U(x)\{x}∩N=∅
Ma io ho pensato:
se (ad esempio) x=min{r∈R | r>1}, l'insieme U(x)\{x}∩N dovrebbe essere uguale a 1, cioè non vuoto, e questo ∀U(x) (o anche ∀ε>0, ε∈R+), proprio perchè, per la definizione di x (x=min{r∈R | r>1}), appena "apro" un intorno di x vado a pescare, tutt'al più, 1. E quindi x così definito sarebbe di accumulazione per N in R.
Ora, premesso che mi fido più del libro che di me stesso, cos'è che sbaglio del mio ragionamento? Non esiste il minimo di {r∈R | r>1}?
Grazie Mille per il vostro prezioso aiuto
P.S.: Scusate se non ho usato il dollaro nelle formule ma putroppo non riuscivo a rendere visibili alcuni connettivi logici
sul libro di Analisi Matematica che uso trovo scritto "L'insieme N è privo di punti di accumulazione per R".
Ciò significa che non esiste alcun punto di accumulazione per N in R.
Cioè che:
∀x∈R, ∃ U(x) | U(x)\{x}∩N=∅
Ma io ho pensato:
se (ad esempio) x=min{r∈R | r>1}, l'insieme U(x)\{x}∩N dovrebbe essere uguale a 1, cioè non vuoto, e questo ∀U(x) (o anche ∀ε>0, ε∈R+), proprio perchè, per la definizione di x (x=min{r∈R | r>1}), appena "apro" un intorno di x vado a pescare, tutt'al più, 1. E quindi x così definito sarebbe di accumulazione per N in R.
Ora, premesso che mi fido più del libro che di me stesso, cos'è che sbaglio del mio ragionamento? Non esiste il minimo di {r∈R | r>1}?
Grazie Mille per il vostro prezioso aiuto
P.S.: Scusate se non ho usato il dollaro nelle formule ma putroppo non riuscivo a rendere visibili alcuni connettivi logici
Risposte
"WindCatcher":
Ora, premesso che mi fido più del libro che di me stesso, cos'è che sbaglio del mio ragionamento? Non esiste il minimo di {r∈R | r>1}?
Esattamente! Supponi $y$ sia il minimo di tale insieme, quindi $y > 1$; ma allora $1 = 1/2 + 1/2 < y/2 + 1/2 < y/2 + y/2 = y$. Quindi $(y+1)/2 > 1$ perciò appartiene all'insieme, e $(y+1)/2 < y$ assurdo per l'ipotesi di minimalità di $y$ nell'insieme, quindi tale minimo non esiste.
Puoi anche notare che chiaramente l'estremo inferiore di tale insieme è 1 che non appartiene all'insieme, quindi non esiste minimo...
Grazie mille, quindi il punto x così come l'avevo definito io non ha senso. Vorrei chiedervi ora, per curiosità, se esiste un concetto matematico (analogo ad esempio a quelli di ±∞) che permettesse di definire, in questo caso, il più piccolo elemento di quell'insieme ({r∈R | r>1} appunto), elemento che ha ovviamente infinite cifre, un modo insomma per dire "è quello!" 
Il più piccolo elemento di ${x in RR | x>1}$ non esiste: Gatto89 te lo ha appena mostrato.
"WiZaRd":
Il più piccolo elemento di ${x in RR | x>1}$ non esiste: Gatto89 te lo ha appena mostrato.
Ora ho capito. Scusa la mia domanda sciocca, però per la mia testa un conto era capire e accettare la definizione di minimo di un insieme, un altro era convicersi che quell'elemento proprio non si potesse "acciuffare" in qualche modo. Ad ogni modo invece, una cosa che invece non riesco proprio a capire, anche applicando in modo rigoroso le definizioni di intorno sferico di ±∞ e quella di punto di accumulazione per un insieme è l'enunciato "In R* l'unico punto di accumulazione per N è +∞"?
Chi è $RR^{\star}$?
Lo chiedo perché io ho visto questa notazione per denotare $RR \setminus {0}$ oppure per indicare il duale di $RR$... è la compattificazione di $RR$, i.e. $RR\cup{-oo,+oo}$?
Lo chiedo perché io ho visto questa notazione per denotare $RR \setminus {0}$ oppure per indicare il duale di $RR$... è la compattificazione di $RR$, i.e. $RR\cup{-oo,+oo}$?
"WiZaRd":
Chi è $RR^{\star}$?
Noi lo abbiamo usato per denotare $ ℝ∪{-∞,+∞} $
Quindi è vero che in $ℝ∪{-∞,+∞}$, l'unico punto di accumulazione per N è +∞?
Sì, è verissimo.
"WiZaRd":
Sì, è verissimo.
Potresti darmi delucidazioni su questa affermazione?
Perchè proprio non riesco ad immaginarmelo. Dire che $ +∞ $ è un punto di accumulazione per $ NN $ in $ RR^{\star}=RRU{-oo,+oo} $ equivale a dire che $ U(+oo)\setminus{+oo}∩NN≠∅ $, dove $ U(+oo) $ è un intorno del tipo $ [a,+∞) $, $ a∈RR^{\star}\setminus{+oo} $. Ma se io prendo a più piccolo dell'unità, l'intersezione dell'intorno di $ +oo $ con $ NN $, escluso $ +oo $, non da $ ∅ $?
Gli intorni sono intervalli aperti (in $RR$), quindi un intorno di $+oo$ è un intervallo del tipo $(a;+oo)$ con $a \in RR$.
Tu dici di prendere un $a<1$, quindi un $a$ tipo $1/2$, cioè un intervallo tipo $(1/2 ; +oo)$ e ti sembra che in questo caso sia $(1/2 ; +oo) cap NN = emptyset$, ma io ti chiedo se non è forse vero che $1,2,3,4,5,...$ appartengono a questo intervallo o no.
Più in genrale, per un qualsivoglia $a in RR$, pensa alla sua rappresentazione decimale $a_{0}, a_{1}a_{2}a_{3}...$ e pensa all'intero positivo strettamente maggiore di $a$: questo non è forse un elemento di $NN$?
Tu dici di prendere un $a<1$, quindi un $a$ tipo $1/2$, cioè un intervallo tipo $(1/2 ; +oo)$ e ti sembra che in questo caso sia $(1/2 ; +oo) cap NN = emptyset$, ma io ti chiedo se non è forse vero che $1,2,3,4,5,...$ appartengono a questo intervallo o no.
Più in genrale, per un qualsivoglia $a in RR$, pensa alla sua rappresentazione decimale $a_{0}, a_{1}a_{2}a_{3}...$ e pensa all'intero positivo strettamente maggiore di $a$: questo non è forse un elemento di $NN$?
Ciò che tu hai detto è sacrosanto, ma io non intendevo questo. Provo a spiegarmi meglio: sono su $+oo$ e da esso mi allontano "verso sinistra" di un $ a<1, a∈RR^{\star}$ e definisco così il mio intorno di $ +oo $, poi ad esso tolgo $ +oo $ e lo interseco a $ N $, non ottengo $ ∅ $?
Sbaglio perchè $ +oo $ è un concetto matematico e non un numero vero e proprio e quindi frasi del tipo "mi allontano da $ +oo $ di un $ a<1 $" non stanno in piedi?
Sbaglio perchè $ +oo $ è un concetto matematico e non un numero vero e proprio e quindi frasi del tipo "mi allontano da $ +oo $ di un $ a<1 $" non stanno in piedi?
Esattamente.
$+oo$ è un oggetto matematico che viene aggiunto ad $RR$ (assieme a $RR$) per completarlo topologicamente (i.e. lo si aggiunge per renderlo un compatto: non a caso infatti avevo parlato di compattificazione di $RR$). Questa aggiunta serve "solo" per rendere $RR$ non illimitato: infatti si pone $a<+oo, \forall a in RR$, ma questo non significa che su $+oo$ tu possa usare la distanza euclidea così come la usi tra due reali qualunque: ovvero non puoi dire da $+oo$ mi sposto a sinistra di una distanza $d$, come se stessi dicendo da $+173,46$ mi sposto a sinistra di una distanza $d=3$.
$+oo$ è un oggetto matematico che viene aggiunto ad $RR$ (assieme a $RR$) per completarlo topologicamente (i.e. lo si aggiunge per renderlo un compatto: non a caso infatti avevo parlato di compattificazione di $RR$). Questa aggiunta serve "solo" per rendere $RR$ non illimitato: infatti si pone $a<+oo, \forall a in RR$, ma questo non significa che su $+oo$ tu possa usare la distanza euclidea così come la usi tra due reali qualunque: ovvero non puoi dire da $+oo$ mi sposto a sinistra di una distanza $d$, come se stessi dicendo da $+173,46$ mi sposto a sinistra di una distanza $d=3$.
Perfetto, grazie mille mi hai messo il cuore in pace
Buonanotte e grazie ancora
Buonanotte e grazie ancora
Ma figurati, per così poco!
Buona notte anche a te.
Buona notte anche a te.
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