Mostrare che un ideale non è principale

[wide87]

Come poter provare che nell'anello $Z[sqrt(-5)]$ l'ideale $(3, -1+sqrt(-5))$ non è principale??
Ho provato ad ipotizzare l'esistenza di un elemento generatore di tale ideale ma non riesco a pervenire ad un assurdo.
Sul libro per questo esercizio non è neanche proposta soluzione e ciò mi turba perchè forse è segno che si tratti di qualcosa di molto semplice...
Ma ho pensato di chiedere comunque il Vostro aiuto..
Grazie mille

[mistake89]

Forse pensando alla norma riesci a concludere.
Se infatti prendi il tuo generatore $a+b\sqrt(-5)$ questo ha norma $a^2+b^2$, allora essa divide $|3|=9$ e $|-1+\sqrt(-5)|=2$, ma allora $a^2+b^2=1$
da cui dovresti giungere alla tesi.

Però non maneggio gli anelli da un po' quindi magari ho detto bischerate

[wide87]

Ma la norma di $a+bsqrt(-5)$ è $a^2 + 5b^2$

[wide87]

così come la norma di $-1 + sqrt(-5)$ è 6

[mistake89]

Beh no; per analogia con la norma introdotta sugli interi di gauss ad esempio $N(a+ib)=a^2+b^2$. Ora se chiami $alpha=\sqrt(-5)$ hai quello che ho scritto.

[Studente Anonimo]

"mistake89":Beh no; per analogia con la norma introdotta sugli interi di gauss ad esempio $N(a+ib)=a^2+b^2$. Ora se chiami $alpha=\sqrt(-5)$ hai quello che ho scritto.

No, mistake

Se si definisse [tex]N(a+\sqrt{-5} b) := a^2+b^2[/tex] si perderebbe la moltiplicativita'. Infatti

[tex]N((a+\sqrt{-5}b)(a-\sqrt{-5}b)) = N(a^2+5b^2) = (a^2+5b^2)^2[/tex], mentre

[tex]N(a+\sqrt{-5}b) N(a-\sqrt{-5}b) = (a^2+b^2) (a^2+b^2) = (a^2+b^2)^2[/tex].

In generale data un'estensione (di Galois) di campi [tex]F/K[/tex] la norma di un elemento [tex]x \in F[/tex] e' definita come [tex]N(x) := \prod_{\sigma \in \text{Aut}_K(F)} \sigma(x)[/tex], dove [tex]\text{Aut}_K(F)[/tex] consiste degli automorfismi di campo di [tex]F[/tex] che ristretti a [tex]K[/tex] sono l'identita'. [e si dimostra che se l'estensione e' di Galois la norma ha valori in [tex]K[/tex]]

Comunque la tua idea, mistake, funziona: se chiami [tex]a+\sqrt{-5}b[/tex] un generatore, la sua norma deve dividere [tex]9[/tex] e [tex]6[/tex], quindi deve dividere [tex]3[/tex], e a questo punto concludere e' facile.

[mistake89]

Grazie Martino
Queste cose che hai detto purtroppo non le sapevo, mi son mosso un po' a tentoni. Purtroppo non aver seguito nessun corso che trattasse la Teoria di Galois mi spezza un po' le gambe!
Dovrò rimediare in solitaria

[Studente Anonimo]

Detta in soldoni, la norma di un elemento e' definita come il prodotto degli zeri del suo polinomio minimo

[gugo82]

@Martino: Visto che anch'io sono a digiuno di Teoria di Galois, approfitto per chidere una cosa (forse banale): in che rapporto è la norma definita come hai appena detto tu con quella che di solito si mette su [tex]$\mathbb{C}$[/tex], ad esempio?

[Studente Anonimo]

"gugo82":@Martino: Visto che anch'io sono a digiuno di Teoria di Galois, approfitto per chidere una cosa (forse banale): in che rapporto è la norma definita come hai appena detto tu con quella che di solito si mette su [tex]$\mathbb{C}$[/tex], ad esempio?

Beh, bisogna fare un "distinguo": in algebra la norma di [tex]a+ib \in \mathbb{C}[/tex] e' [tex]a^2+b^2[/tex], non [tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex]. Il gruppo di Galois dell'estensione [tex]\mathbb{C}/\mathbb{R}[/tex] e' il gruppo degli automorfismi di [tex]\mathbb{C}[/tex] che ristretti a [tex]\mathbb{R}[/tex] sono l'identita', e tale gruppo viene denotato con [tex]\mathcal{G}(\mathbb{C}/\mathbb{R})[/tex] oppure [tex]\text{Aut}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})[/tex]. L'osservazione importante e' che se [tex]K \subseteq F[/tex] sono due campi e [tex]\sigma \in \text{Aut}_K(F)[/tex] e [tex]P(x) \in K[X][/tex] ammette uno zero [tex]a \in F[/tex] allora anche [tex]\sigma(a)[/tex] e' uno zero di [tex]P(x)[/tex] (infatti [tex]P(\sigma(a)) = \sigma(P(a)) = \sigma(0)=0[/tex], dove la prima uguaglianza e' dovuta al fatto che [tex]\sigma|_K=\text{id}_K[/tex]). Nel nostro caso, questo dice che [tex]\sigma \in \text{Aut}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})[/tex] deve fissare tutto [tex]\mathbb{R}[/tex] e fissa oppure scambia i due zeri di [tex]x^2+1[/tex], cioe' e' l'identita' [tex]1[/tex] oppure il coniugio [tex]\tau[/tex]. In altre parole [tex]\text{Aut}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=\{1,\tau\} \cong C_2[/tex]. La norma di [tex]a+ib[/tex] e' il prodotto di [tex]\sigma(a+ib)[/tex] al variare di [tex]\sigma \in \text{Aut}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})[/tex] (come ho detto sopra), quindi e' uguale a [tex](a+ib) \cdot \tau(a+ib) = (a+ib) \cdot (a-ib)=a^2+b^2[/tex]. Se l'estensione finita [tex]K \subseteq F[/tex] (si denota spesso con [tex]F/K[/tex]) e' di Galois (in caratteristica zero questo equivale a chiedere che [tex]F[/tex] sia un campo di spezzamento su [tex]K[/tex] di un qualche polinomio di [tex]K[X][/tex], ed e' il caso per esempio di [tex]\mathbb{C}/\mathbb{R}[/tex] con [tex]P(x)=x^2+1[/tex] - ma piu' in generale tutte le estensioni di grado 2 sono di Galois) allora si dimostra che la norma ha valori nel campo base [tex]K[/tex] (nel nostro caso questo dice semplicemente che [tex]a^2+b^2 \in \mathbb{R}[/tex], che sapevamo gia' avendo fatto il conto). Ma se uno prende per esempio [tex]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}[/tex] le cose non funzionano cosi' bene (la norma non ha valori in [tex]\mathbb{Q}[/tex]) perche' qui l'unico automorfismo e' l'identita' (ovvio: [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] e' l'unico zero del suo polinomio minimo che appartiene all'estensione). In genere la norma si definisce solo per estensioni di Galois. Un'ultima cosa: la traccia di [tex]a \in F[/tex] e' invece definita come la somma [tex]\sum_{\sigma} \sigma(a)[/tex] e anche questa ha valori in [tex]K[/tex] se l'estensione e' di Galois, e anche questa si definisce solo su estensioni di Galois. Addirittura, se [tex]L/K[/tex] e' di Galois finita allora la funzione traccia [tex]L \to K[/tex] e' suriettiva. Ora mi fermo

[mistake89]

"Martino":Detta in soldoni, la norma di un elemento e' definita come il prodotto degli zeri del suo polinomio minimo

Quindi essendo $x^2+5$ il polinomio minimo di $sqrt(-5)$ si ha che le sue radici sono $\sqrt(-5),-sqrt(-5)$ da cui $(a+b\sqrt(-5))(a-b \sqrt(-5))=(a^2+5b^2)$

Ottima questa cosa non la sapevo proprio
Grazie

[gugo82]

@Martino: Grazie per la spiegazione.

[Studente Anonimo]

@mistake: per dirla bene: data un'estensione di Galois finita [tex]F/K[/tex], la norma di un elemento di [tex]F[/tex] e' uguale al prodotto degli zeri del suo polinomio minimo su [tex]K[/tex]. Questo e' dovuto al fatto che dire che un polinomio e' irriducibile equivale a dire che il suo gruppo di Galois (cioe' il gruppo di Galois di un suo campo di spezzamento) agisce transitivamente sui suoi zeri. E quindi fissato un elemento [tex]a \in F[/tex], ogni zero del suo polinomio minimo e' del tipo [tex]\sigma(a)[/tex] per qualche [tex]\sigma \in \text{Aut}_K(F)[/tex]. In particolare i [tex]\sigma(a)[/tex] sono a due a due distinti dato che ogni estensione di Galois finita e' separabile, quindi sono in numero uguale al grado di [tex]f(x)[/tex], cioe' sono tutti e soli gli zeri di [tex]f(x)[/tex]. [errato: compaiono con molteplicita']

@gugo: prego!

[mistake89]

Ho capito!
Grazie mille

PS Un testo che offra una buona panoramica sulla Th. di Galois partendo da zero?
Anche in inglese va bene!

[Studente Anonimo]

A dire la verita' non e' esattamente come ho detto nell'intervento precedente. Bisogna contare il fatto che puo' succedere che [tex]\sigma(a)=\tau(a)[/tex] per due automorfismi [tex]\sigma \neq \tau[/tex]. Penso pero' che si possa dire che la norma di un elemento e' una opportuna potenza del prodotto degli zeri del suo polinomio minimo. Ci pensero'.

Io facevo (inconsapevolmente) riferimento al libro di Jacobson "Basic Algebra I". Secondo me e' buono.

[mistake89]

Martino, a proposito dell'argomento, oggi ho trovato questo.

In particolare, credo, la Prop. 23.8 e il successivo Corollario 23.9