Monomorfismi su campi finiti
Ciao a tutti, volevo chiedere
è sempre vero che un omomorfismo iniettivo (monomorfismo) su un campo finito è suriettivo ?
e il motivo della risposta se possibile.
Mi servirebbe perché sto cercando di capire se ogni campo finito è perfetto. So che ogni campo finito ha caratteristica diversa da zero, e c'è un teorema che dice che un campo di caratt. zero è perfetto se e solo se l'omomorfismo di Frobenius (che è iniettivo) è anche suriettivo (e quindi biiettivo).
Quindi se mostro che un monomorfismo è suriettivo su un campo finito allora è fatta.
è sempre vero che un omomorfismo iniettivo (monomorfismo) su un campo finito è suriettivo ?
e il motivo della risposta se possibile.
Mi servirebbe perché sto cercando di capire se ogni campo finito è perfetto. So che ogni campo finito ha caratteristica diversa da zero, e c'è un teorema che dice che un campo di caratt. zero è perfetto se e solo se l'omomorfismo di Frobenius (che è iniettivo) è anche suriettivo (e quindi biiettivo).
Quindi se mostro che un monomorfismo è suriettivo su un campo finito allora è fatta.
Risposte
Principio dei cassetti: se A e B sono insiemi finiti della stessa cardinalità allora una funzione $A to B$ è iniettiva se e solo se è suriettiva.
Ah bé giusto!
E se invece consideriamo A e B insiemi infiniti della stessa cardinalità ciò non è più vero?
E se invece consideriamo A e B insiemi infiniti della stessa cardinalità ciò non è più vero?
Non è più vero, per esempio considera $f: ZZ to QQ$, $f(z)=z$.
E' iniettiva perché ad ogni elemento del dominio corrisponde un elemento del codominio, ma non è suriettiva perché esistono elementi del codominio che non vengono raggiunti. Giusto?
"Rabelais":No, è iniettiva perché elementi distinti hanno immagini distinte.
E' iniettiva perché ad ogni elemento del dominio corrisponde un elemento del codominio
ma non è suriettiva perché esistono elementi del codominio che non vengono raggiunti.Giusto. Per esempio $1/2$ non viene raggiunto.
Ottimo grazie mille Martino!
Però scusa, l'omomorfismo iniettivo di Frobenius manda un campo in se stesso, $K rarr K$, quindi la funzione $ZZ→ZZ$ avrebbe che ogni elemento del codominio viene raggiunto, no?
Ok allora considera la funzione $ZZ to ZZ$ che manda $z$ in $2z$. E' iniettiva ma non suriettiva.
Ah vero, e infatti frobenius manda $x$ in $x^p$
Grazie
Grazie
Ti stavo solo facendo un esempio di funzione iniettiva e non suriettiva di un insieme in se stesso.
Un esempio di un omomorfismo iniettivo e non suriettivo $K to K$ dove $K$ è un campo è il seguente. Prendi $F=ZZ//pZZ$ dove $p$ è un primo e $phi: F(x) to F(x)$ che manda $a$ in $a^p$ (dove $F(x)$ è il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi $F[x]$, cioè $F(x) = \{P/Q\ :\ P,Q in F[x], Q ne 0\}$. Allora $phi$ è iniettiva e non suriettiva (per esempio $x$ non appartiene all'immagine).
Un esempio di un omomorfismo iniettivo e non suriettivo $K to K$ dove $K$ è un campo è il seguente. Prendi $F=ZZ//pZZ$ dove $p$ è un primo e $phi: F(x) to F(x)$ che manda $a$ in $a^p$ (dove $F(x)$ è il campo delle frazioni dell'anello dei polinomi $F[x]$, cioè $F(x) = \{P/Q\ :\ P,Q in F[x], Q ne 0\}$. Allora $phi$ è iniettiva e non suriettiva (per esempio $x$ non appartiene all'immagine).
Chiarissimo grazie mille!
Prego 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo