Monomorfismi a codominio comune da oggetti isomorfi

[marco2132k]

Ciao. Forse è una domanda stupida, ma... Siano (fcolon A_1 o B) e (gcolon A_2 o B) due monomorfismi, e sia (A_1cong A_2). È vero che (f) e (g) sono equivalenti? nel senso, è vero che esistono (hcolon A_1 o A_2) e (kcolon A_2 o A_1) che fanno commutare gli ovvi diagrammi?

[hydro1]

Direi di no perchè potresti avere che $A_1=A_2$ è un oggetto senza automorfismi non banali. Per esempio prendi \(A_1=A_2=\mathbb Z/2\mathbb Z\) e \(B=A_1\times A_2\). C'è un monomorfismo $f$ che manda $1$ in $(1,0)$ ed un monomorfismo $g$ che manda $1$ in $(0,1)$, ma certo non esiste alcuna coppia $(h,k)$ che faccia il lavoro che vuoi.

[marco2132k]

Ok. Grazie mille!

[solaàl]

In generale la domanda è: a quali condizioni un isomorfismo (h : A_1 cong A_2) in (mathcal C) è un isomorfismo $h$ in (mathcal C/B), qualora (A_1,A_2) vengano da (A_1 o Bleftarrow A_2)? La risposta è che è una proprietà di come (h) tratta le fibre di (A_1 o B) e (A_2 o B) sopra i vari punti.

Stai chiedendo quando il funtore "dominio" (s : {cal C}/B o {cal C}) è "conservativo", e questo succede spesso, ma non per questo tipo di funtori che dimenticano il codominio di una freccia. In effetti, si possono caratterizzare tutti e soli i (B) con la proprietà che chiedi, in quelle (mathcal C) dove gli strong epi sono stabili per pullback, perché lì le seguenti condizioni sono equivalenti

1. (s) definito sopra è conservativo;
2. (B) è tale che, dato un qualsiasi monomorfismo (f : Xhookrightarrow Y), la funzione
[-circ f : {cal C}(Y,B) o {cal C}(X,B)] ottenuta precomponendo con $f$ è biiettiva.