Monoidi e gruppi
salve , oggi mi è stata introdotta la nozione di monoide. Stavo pensando ad una cosa,
se $(M,*)$ è un monoide , e cioè $*$ è tale che
1) $AA x,y,z in M : x*(y*z)=(x*y)*z$
2) $EE e in M , AA x : e*x=x=x*e$.
e $M$ consta solo di due elementi, posso dire che 1) e 2) mi bastano per dire che $M$ è un gruppo?
Il viceversa, da quel che mi pare di capire è vero. Ogni gruppo è un particolare monoide. Ma se $|M|=2$ posso dire che $M$ è un gruppo? Secondo me sì.
Ho ragionato così : Supponiamo che $M={e,x}$
innanzi tutto notiamo che In un monoide se l'elemento e esiste, esso è unico. E ciò è ovvio.
Ora , poiché $ * : M\timesM-> M$ ne segue che $x*x in M$(1)
Poiché deve valere (1), $x*x=e$ oppure $x*x=x$
Ma $x*x=x$ non può essere, visto che $e$ è unico ed $x!=e$. Ne segue allora che $x*x=e$
Quindi sia $e$ che $x$, che sono gli unici elementi di M, hanno un simmetrico. Pertanto vale che $AAx in M EE y in M : xy=e=yx$. Dunque, $M$ è un gruppo.
Che ne dite? o stò dicendo fesserie?
se $(M,*)$ è un monoide , e cioè $*$ è tale che
1) $AA x,y,z in M : x*(y*z)=(x*y)*z$
2) $EE e in M , AA x : e*x=x=x*e$.
e $M$ consta solo di due elementi, posso dire che 1) e 2) mi bastano per dire che $M$ è un gruppo?
Il viceversa, da quel che mi pare di capire è vero. Ogni gruppo è un particolare monoide. Ma se $|M|=2$ posso dire che $M$ è un gruppo? Secondo me sì.
Ho ragionato così : Supponiamo che $M={e,x}$
innanzi tutto notiamo che In un monoide se l'elemento e esiste, esso è unico. E ciò è ovvio.
Ora , poiché $ * : M\timesM-> M$ ne segue che $x*x in M$(1)
Poiché deve valere (1), $x*x=e$ oppure $x*x=x$
Ma $x*x=x$ non può essere, visto che $e$ è unico ed $x!=e$. Ne segue allora che $x*x=e$
Quindi sia $e$ che $x$, che sono gli unici elementi di M, hanno un simmetrico. Pertanto vale che $AAx in M EE y in M : xy=e=yx$. Dunque, $M$ è un gruppo.
Che ne dite? o stò dicendo fesserie?
Risposte
"Kashaman":Non ho capito.
Ma $x*x=x$ non può essere, visto che $e$ è unico ed $x!=e$.
mmh, forse sono giusto a conclusioni affrettate. Riformulo la domanda.
E possibile in un monoide $M$ trovare $x in M$ , $x!=e$ tali che $x*x=x$?
E possibile in un monoide $M$ trovare $x in M$ , $x!=e$ tali che $x*x=x$?
Riformulo la risposta: sì certo, basta prendere [tex]M=\{e,x\}[/tex] e porre [tex]x \cdot x = x[/tex] 
Il fatto che l'elemento neutro sia unico non implica che [tex]x \cdot x = e[/tex], infatti se [tex]x \cdot x = x[/tex] il tuo [tex]x[/tex] non è un altro elemento neutro, essendo [tex]e \cdot x = x \neq e[/tex].
Il fatto che l'elemento neutro sia unico non implica che [tex]x \cdot x = e[/tex], infatti se [tex]x \cdot x = x[/tex] il tuo [tex]x[/tex] non è un altro elemento neutro, essendo [tex]e \cdot x = x \neq e[/tex].
hai ragione martino!
mi ha forviato il fatto che nei gruppi , l'unico elemento tale che $x*x=x$ è l'identità.
Ma ciò è plausibile per il fatto che se $x in G => EE x^(-1) in G$ e quindi $x*x=x => (x^(-1)*x)*=x^(-1)*x => e*x=x=e $.
Mentre in un monoide, ciò non è assolutamente vero, proprio perché non tutti gli elementi hanno un simmetrico ( nel migliore dei casi) e quindi non posso fare un ragionamento analogo a quello dei gruppi. Giusto?
mi ha forviato il fatto che nei gruppi , l'unico elemento tale che $x*x=x$ è l'identità.
Ma ciò è plausibile per il fatto che se $x in G => EE x^(-1) in G$ e quindi $x*x=x => (x^(-1)*x)*=x^(-1)*x => e*x=x=e $.
Mentre in un monoide, ciò non è assolutamente vero, proprio perché non tutti gli elementi hanno un simmetrico ( nel migliore dei casi) e quindi non posso fare un ragionamento analogo a quello dei gruppi. Giusto?
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