Moltiplicazione e potenza nell'Aritmetica di Peano

[mariofranco53]

Buon giorno a tutti.

L'Aritmetica di Peano ha degli assiomi per l'addizione e per la moltiplicazione, ma non ha assiomi per l'elevamento a potenza, che viene definito mediante gli assiomi esistenti (in base alla moltiplicazione, se non sbaglio). Se l'elevamento a potenza si può definire in base alla moltiplicazione, perché c'è bisogno di assiomi per la moltiplicazione? Perché non la si può semplicemente definire in base all'addizione?

Grazie. Saluti,

Mario Franco Carbone

[garnak.olegovitc1]

Salve mariofranco53,

"mariofranco53":Buon giorno a tutti.

L'Aritmetica di Peano ha degli assiomi per l'addizione e per la moltiplicazione, ma non ha assiomi per l'elevamento a potenza, che viene definito mediante gli assiomi esistenti (in base alla moltiplicazione, se non sbaglio). Se l'elevamento a potenza si può definire in base alla moltiplicazione, perché c'è bisogno di assiomi per la moltiplicazione? Perché non la si può semplicemente definire in base all'addizione?

Grazie. Saluti,

Mario Franco Carbone

forse non ho ben capito, ma se devo rispondere alle tue domande ti dico solamente che la moltiplicazione è definita "in base" all'addizione. Guarda qui

Cordiali saluti

[mariofranco53]

Nella pagina di Wikipedia relativa all'Aritmetica di Peano è scritto: "Ci si potrebbe chiedere perché non sono stati introdotti anche assiomi per la potenza, in realtà si dimostra che gli assiomi dati sono sufficienti per rappresentare l'operazione di elevamento a potenza.".

Ora, se ci sono degli assiomi per la moltiplicazione, evidentemente gli altri assiomi (inclusi quelli che definiscono l'addizione) non sono sufficienti a rappresentare l'operazione di moltiplicazione.

Come mai, visto che la moltiplicazione si definisce in base all'addizione?

Grazie. Saluti,

Mario Franco Carbone

[garnak.olegovitc1]

Salve mariofranco53,

"mariofranco53":Nella pagina di Wikipedia relativa all'Aritmetica di Peano è scritto: "Ci si potrebbe chiedere perché non sono stati introdotti anche assiomi per la potenza, in realtà si dimostra che gli assiomi dati sono sufficienti per rappresentare l'operazione di elevamento a potenza.".

Ora, se ci sono degli assiomi per la moltiplicazione, evidentemente gli altri assiomi (inclusi quelli che definiscono l'addizione) non sono sufficienti a rappresentare l'operazione di moltiplicazione.

Come mai, visto che la moltiplicazione si definisce in base all'addizione?

Grazie. Saluti,

Mario Franco Carbone

da quello che ho capito, concludiamo assieme sul fatto che la moltiplicazione è definita per mezzo di alcuni assiomi "forse" perchè non è rappresentabile dagli altri assiomi ovvero non sono sufficienti per definirla... ma il perchè di tale non rappresentabilità non ti sò aiutare, le mie conoscenze di logica non vanno oltre... apettiamo che passi da qui un qualche specialista di logica per avere ulteriori delucidazioni in merito.
Se invece tu hai tali conoscenza che io non ho allora navigando sul web ti posso postare questa pagina non sapendo quanto possa aiutarti

Cordiali saluti

[Deckard1]

"mariofranco53":Come mai, visto che la moltiplicazione si definisce in base all'addizione?

Ma in che senso "si definisce"? Perché anche l'addizione si definisce in base alla funzione successore, ma questo non vuol dire che sia sufficiente avere un linguaggio con solo gli assiomi che individuano la funzione successore e il principio di induzione per ottenere una caratterizzazione dei numeri naturali.
Se ci limitiamo a teorie del primo ordine (quindi sostituiamo al principio d'induzione il meno potente schema d'induzione) e togliamo gli assiomi della moltiplicazione all'aritmetica di Peano otteniamo l'aritmetica di Presburger che però oltre a essere consistente è completa e decidibile (e ovviamente meno potente).
Se invece ci allontaniamo dall'aritmetica e consideriamo non i numeri ma le funzioni, allora sì che la moltiplicazione è solo un orpello: ci basta la funzione zero, le proiezioni e la funzione successore (chiudendo il tutto per composizione, ricorsione primitiva e mu-operatore) per ottenere la classe delle funzioni ricorsive, ovvero, dando per vera la tesi di Church-Turing, la classe di tutte e sole le funzioni effettivamente calcolabili.

[mariofranco53]

Deckard ha scritto:

"Deckard":
Ma in che senso "si definisce"? Perché anche l'addizione si definisce in base alla funzione successore, ma questo non vuol dire che sia sufficiente avere un linguaggio con solo gli assiomi che individuano la funzione successore e il principio di induzione per ottenere una caratterizzazione dei numeri naturali.

Nell'Aritmetica di Peano ci sono degli assiomi per l'addizione e degli assiomi per la moltiplicazione.

Non ci sono però assiomi per l'elevamento a potenza, però le potenze si possono usare.

Quello che non capisco è come mai occorrono assiomi per l'addizione e per la moltiplicazione, e per la potenza no.

Se si aggiungessero assiomi per l'elevamento a potenza, cambierebbe qualcosa o sarebbero semplicemente superflui?

Se si togliessero gli assiomi per la moltiplicazione, cambierebbe qualcosa? la moltiplicazione si potrebbe ancora usare o no?

Grazie. Saluti,
Mario Franco Carbone

[gundamrx91-votailprof]

Da quel poco che ho capito gli assiomi devono essere indipendenti, cioè non dipendere da altri assiomi, e dato che l'elevamento a potenza altro non è che la reiterata moltiplicazione di un certo elemento, assiomatizzarla sarebbe superfluo.

[Deckard1]

"mariofranco53":Se si aggiungessero assiomi per l'elevamento a potenza, cambierebbe qualcosa o sarebbero semplicemente superflui?

Te l'ho già scritto: sì, si otterrebbe una teoria meno potente.
Senza la moltiplicazione non potremmo definire molte cose, fra cui l'elevamento a potenza. Con la moltiplicazione invece possiamo sì definire l'elevamento a potenza. Dimostrarti che togliendo gli assiomi della moltiplicazione si otterrebbe una teoria meno potente non è nelle mie facoltà (non ho mai visto la dimostrazione), tuttavia quello che ti posso dire, e ti ho già detto, è che al primo ordine se togliamo la moltiplicazione otteniamo l'aritmetica di Presburger che è molto meno potente dell'aritmetica di Peano.

[hamming_burst]

[Mini-OT]

"Deckard": togliendo gli assiomi della moltiplicazione

ma la moltiplicazioni definita sui naturali, non fa uso del teorema di ricorsione? Mi pare fossero delle funzioni facenti uso della funzione successore e non degli assiomi, sbaglio?
[/Mini-OT]

[Deckard1]

"hamming_burst":[Mini-OT]
[quote="Deckard"] togliendo gli assiomi della moltiplicazione

ma la moltiplicazioni definita sui naturali, non fa uso del teorema di ricorsione? Mi pare fossero delle funzioni facenti uso della funzione successore e non degli assiomi, sbaglio?
[/Mini-OT][/quote]
Il teorema di ricorsione che conosco è il cosiddetto teorema del punto fisso (uno dei tanti), questo. Credo tu intendessi dire che la moltiplicazione può essere definita dalla funzione successore tramite ricorsione primitiva. Vero, ma qui non si sta parlando di funzioni, ma del linguaggio dell'aritmetica (dal punto di vista "logico" non della calcolabilità, anche se questi due punti di vista sono molto vicini, ma spero di essere comunque chiaro dicendo così). Se togli la moltiplicazione ottieni una teoria meno potente che non è in grado di rappresentare, tra le altre cose, tutte le funzioni che si possono ottenere tramite ricorsione primitiva.

[mariofranco53]

Ho trovato un link che credo mi chiarisca la questione:

http://unamacchina.wordpress.com/2008/01/27/errori/

Grazie a tutti.
Saluti,
Mario Franco Carbone