Moduli su PID

[jinsang]

Sia $A$ PID (dominio a ideali principali).

Sia $M$ un $A$-modulo libero e finitamente generato, diciamo $B={e_1,...,e_t}$ base per $M$.

Sia $n \in M-{0}$, $n=a_1e_1+...+a_te_t$ (so che la scrittura come combinazione lineare di elementi una base è unica) tale che l'ideale $(a_1,...,a_n)=(1)$.

Posso sempre estendere $n$ a base di $M$?
Ovvero, esiste $C$ base per $M$ tche $n\in C$?
Se sì: esiste un algoritmo per determinarla?

Se qualcuno mi aiutasse gliene sarei infinitamente grato, ho speso tutto il giorno a tentare di dimostrare/confutare questa proposizione ma concludendo quasi nulla di concreto. La sensazione è che sia vera...

Se può essere utile credo in realtà di aver dimostrato che è vera se $t=rnk(M)=1,2$ (il caso 1 è facile ma già per 2 ho fatto fatica).
Semmai domani posto questa soluzione parziale (adesso sono troppo stanco), ma se qualcuno avesse qualche suggerimento da darmi nel frattempo lo accetterei volentieri

[caulacau]

Se $N$ è il modulo generato da $N$, allora \(0 \lneq N \lneq M\) e se consideri $0\to N\to M \to H\to 0$ allora anche $H$ dovrebbe essere libero; questo conclude insieme al fatto che
1) \(\dim N \le \dim M\) (cosa vera sui PID)
2) \(\dim M = \dim N + \dim H\)

[Stickelberger]

Siano $lambda_k\in A$ tali che $\lambda_1a_1+\ldots+\lambda_ia_i=1$. Allora
il nucleo $N$ dell’omomorfismo $f:M\rightarrow A$ dato da
$f(x_1e_1+\ldots +x_ie_i)= \lambda_1x_1+\ldots +lambda_ix_i$ ha la
proprieta’ che $N\cap An=\{0\}$ e $N+An=M$.
In altre parole, si ha che $M=N\oplus An$ e quindi
$n$ sta in una base di $M$.

[jinsang]

Grazie a entrambi!

L'idea di Stickelberger mi torna e devo dire che è molto bella.
Per quanto hai scritto tu caulacau, purtroppo non ho capito bene cosa mi stai dicendo, ma ci penserò meglio.

Il problema del mio approccio è che cercavo un algoritmo di completamento a base in stile spazi vettoriali, mentre con i giusti omomorfismi si vedeva molto più facilmente.

Comunque dall'idea di Stickelberger non dovrebbe essere difficile dire esplicitamente chi è una base:
Diciamo $B={e_1,...,e_t}$ base per $M$
Mi basta di trovare una base di $N$,e dovrebbe andar bene $E={\lambda_ke_1-lambda_1e_k}_(k=2,...,t)$.
(anche se in effetti forse dovrei motivare un po' perché questa genera $N$, ci penso)
Allora a questo punto $C={n}\uuE$.