Moduli ciclici e \(A/\text{Ann}_A (x)\)

[DavideGenova1]

Sono di nuovo qua... Mi sembra di capire, da ciò che leggo qui e là cercando di integrare per chiarirmi le idee gli assaggi di teoria dei moduli che il mio testo fornisce, che, dato $A$ dominio principale, un $A$-modulo ciclico di tipo $M=Ax$ è isomorfo a \(A/\text{Ann}_A (x)\). Mi sembra anche chiaro che basta prendere l'omomorfismo \(\varphi:A\to M,a\mapsto ax\) per vedere l'isomorfismo canonico \(A/\ker\varphi\to Ax\).
È vero anche il viceversa, giusto, cioè \(M\simeq A/\text{Ann}_A (x)\Rightarrow M\) è generato da un solo $x\in M$?
$\infty$ grazie a tutti!

[j18eos]

"DavideGenova":...È vero anche il viceversa...

Mi sa di sì: gli ideali di \(\displaystyle A/Ann_A(x)\) sono in corrispondenza biunivoca con gli ideali di \(\displaystyle A\) che contengono \(\displaystyle Ann_A(x)\); essendo \(\displaystyle A\) un PID allora anche il quoziente è un PID, quindi \(\displaystyle M\) come \(\displaystyle A\)-modulo è ciclico!

Tutto corretto?

[Pappappero1]

Sì. Ma siamo sicuri che serva l'ipotesi di PID?

Il viceversa dovrebbe valere anche se $A$ non è un PID, perché $A$ è sempre $1$-generato come $A$ modulo dal suo $1$. Perciò in generale, se $M = A/I$ con $I$ ideale di $A$, allora $M$ è ciclico (e un generatore è un qualunque elemento congruo a $1$ mod $I$). Qui $I$ diventa proprio $A n n _A(1 + I)$ (direi per definizione di anello quoziente).

Ma anche nella direzione mostrata nel primo post, dove si usa che $A$ è un PID?