Moduli
Buonasera a tutti, ho il seguente esercizio:
"Sia k un campo. I seguenti k[X]-moduli hanno k-dimensione finita. Indicare una base e determinare la matrice rappresentativa per la moltiplicazione per X rispetto a questa base:
(a) $(k[x])/(x^4)$
(b) $(k[x])/(x^2) × (k[x])/(x^2)$;
(c) $(k[x])/(x) × (k[x])/(x + 1) × (k[x])/(x+2) × (k[x])/(x +3)$
Il mio professore ha fatto un esempio in classe su questo genere di esercizi, ora ve lo posto:
$M= (k[x])/(x-3) × (k[x])/(x-2)^2$, avendo dimensione 3 sara' una matrice $3x3$ trovo una base
$e_1=(1,0)$
$e_2=(0,1)$
$e_3=(0,x-2)$
$xe_1=(x,0)$ ed essendo x un elemento appartenente a $(k[x])/(x-3)$ ne segue che $x=3$ quindi $xe_1=(3,0)=e_1$
con ragionamenti analoghi trovo che $xe_2=e_2+2e_3$ e che $xe_3=2e_2$
la matrice e' quindi
$(3 0 0)$
$(0 2 1)$
$(0 0 2)$
e questo esempio e' chiarissimo, il problema e' quando devo fare lo stesso procedimento ai tre esercizi li sopra che non so come muovermi. Potreste aiutarmi? Anche magari con qualche procedimento diverso, non importa
"Sia k un campo. I seguenti k[X]-moduli hanno k-dimensione finita. Indicare una base e determinare la matrice rappresentativa per la moltiplicazione per X rispetto a questa base:
(a) $(k[x])/(x^4)$
(b) $(k[x])/(x^2) × (k[x])/(x^2)$;
(c) $(k[x])/(x) × (k[x])/(x + 1) × (k[x])/(x+2) × (k[x])/(x +3)$
Il mio professore ha fatto un esempio in classe su questo genere di esercizi, ora ve lo posto:
$M= (k[x])/(x-3) × (k[x])/(x-2)^2$, avendo dimensione 3 sara' una matrice $3x3$ trovo una base
$e_1=(1,0)$
$e_2=(0,1)$
$e_3=(0,x-2)$
$xe_1=(x,0)$ ed essendo x un elemento appartenente a $(k[x])/(x-3)$ ne segue che $x=3$ quindi $xe_1=(3,0)=e_1$
con ragionamenti analoghi trovo che $xe_2=e_2+2e_3$ e che $xe_3=2e_2$
la matrice e' quindi
$(3 0 0)$
$(0 2 1)$
$(0 0 2)$
e questo esempio e' chiarissimo, il problema e' quando devo fare lo stesso procedimento ai tre esercizi li sopra che non so come muovermi. Potreste aiutarmi? Anche magari con qualche procedimento diverso, non importa
Risposte
Ma che cos'è la dimensione di un modulo? Mica è definita allo stesso modo degli spazi vettoriali...
Per dimensione intendo la dimensione della matrice che andrò ad ottenere.
No, questa è una scemenza.
La dimensione della matrice che rappresenta un endomorfismo è $n$ come conseguenza del fatto che la dimensione del modulo dove esso è definito è $n$. Per trovare la matrice devi sapere prima quanti elementi ha, e quali, una base dello spazio dove lavori.
A differenza degli spazi vettoriali, dove ogni oggetto ammette una base (accettando l'assioma della scelta), e la cardinalità di tale insieme è la stessa per ogni base, nei moduli questo non accade. La differenza è che i moduli su un campo sono tutti liberi; i moduli su un anello possono fare cose orribili da questo punto di vista (c'è una base, ma non tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi; non c'è una base; cose ancora peggiori. Qualcosa certamente si può dire, ma bisogna stare attenti: https://en.wikipedia.org/wiki/Generatin ... f_a_module
Ora, la prima cosa che devi fare è quindi capire qual è la dimensione dei moduli con cui stai lavorando. Parti dal fatto che (apparentemente, ma va dimostrato) \(\dim k[X]/(p(X)) = \deg p\) e dal fatto che \(\dim M\oplus N = \dim M+\dim N\).
La dimensione della matrice che rappresenta un endomorfismo è $n$ come conseguenza del fatto che la dimensione del modulo dove esso è definito è $n$. Per trovare la matrice devi sapere prima quanti elementi ha, e quali, una base dello spazio dove lavori.
A differenza degli spazi vettoriali, dove ogni oggetto ammette una base (accettando l'assioma della scelta), e la cardinalità di tale insieme è la stessa per ogni base, nei moduli questo non accade. La differenza è che i moduli su un campo sono tutti liberi; i moduli su un anello possono fare cose orribili da questo punto di vista (c'è una base, ma non tutte le basi hanno lo stesso numero di elementi; non c'è una base; cose ancora peggiori. Qualcosa certamente si può dire, ma bisogna stare attenti: https://en.wikipedia.org/wiki/Generatin ... f_a_module
Ora, la prima cosa che devi fare è quindi capire qual è la dimensione dei moduli con cui stai lavorando. Parti dal fatto che (apparentemente, ma va dimostrato) \(\dim k[X]/(p(X)) = \deg p\) e dal fatto che \(\dim M\oplus N = \dim M+\dim N\).
Ti ringrazio ma ho risolto.
Comunque per dimensione della matrice intendo che se ad esempio, se dim=3, la matrice sarà 3x3. Non so come vuoi chiamare questa cosa, questo è il concetto e sono sicurissima essere giusto, se il nome che ho usato è sbagliato mi dispiace
Comunque per dimensione della matrice intendo che se ad esempio, se dim=3, la matrice sarà 3x3. Non so come vuoi chiamare questa cosa, questo è il concetto e sono sicurissima essere giusto, se il nome che ho usato è sbagliato mi dispiace
"ludovica_97":
Ti ringrazio ma ho risolto.
Comunque per dimensione della matrice intendo che se ad esempio, se dim=3, la matrice sarà 3x3. Non so come vuoi chiamare questa cosa, questo è il concetto e sono sicurissima essere giusto, se il nome che ho usato è sbagliato mi dispiace
Ma come fai a sapere che è 3?
Se il "97" del tuo username è l'anno in cui sei nata, abbiamo abbastanza anni di differenza per poter essere tu un'allieva, e io un insegnante con cui sostieni un esame. Se mi mostrassi tanto pressapochismo non solo non esiterei a rimandarti, ma ti consiglierei di cambiare corso di studi. Il fatto che tu non abbia capito quel che ti ho detto denota una lacuna davvero grave.
Andiamo per gradi:
1) è tre perché guardando le potenze dei polinomi ho 1 e 2 e quindi la loro somma dandomi 3 mi dice che la matrice sarà 3x3. Questo lo ha spiegato il mio professore che ritengo, non solo io, essere un grande matematico contemporaneo, perciò sono sicura di poter essere certa di questa cosa
2) (s)fortunatamente non sei mio professore e io tua allieva altrimenti avresti risparmiato al mondo matematico un inetta arrogante
3) nessuno ha mai detto che io non ho capito ciò che tu mi hai scritto, semplicemente ti ho risposto dicendo ciò che intendevo dato che non ti era chiaro e che avevo risolto
1) è tre perché guardando le potenze dei polinomi ho 1 e 2 e quindi la loro somma dandomi 3 mi dice che la matrice sarà 3x3. Questo lo ha spiegato il mio professore che ritengo, non solo io, essere un grande matematico contemporaneo, perciò sono sicura di poter essere certa di questa cosa
2) (s)fortunatamente non sei mio professore e io tua allieva altrimenti avresti risparmiato al mondo matematico un inetta arrogante
3) nessuno ha mai detto che io non ho capito ciò che tu mi hai scritto, semplicemente ti ho risposto dicendo ciò che intendevo dato che non ti era chiaro e che avevo risolto
è tre perché guardando le potenze dei polinomi ho 1 e 2 e quindi la loro somma dandomi 3 mi dice che la matrice sarà 3x3
Questa affermazione è motivata dal fatto che (come ti ho detto sopra) \(\dim(k[X]/(p(X)))=\deg p(X)\); io vorrei vedere una dimostrazione di questo fatto, di cui tu sembri fidarti ciecamente.
Soprattutto però non mi hai risposto, è questa domanda che non hai capito: cos'è la dimensione di un $R$-modulo?
Sulla dimensione di un modulo so dirti che, nel caso di un modulo libero la dimensione è il numero di elementi della base
Se vuoi la definizione rigorosa e generale mi viene in mente quella di lunghezza di un modulo (?)
Se vuoi la definizione rigorosa e generale mi viene in mente quella di lunghezza di un modulo (?)
Ottimo, ma cosa fai quando un modulo non e' libero?
E come dimostri che la lunghezza di un modulo e' la dimensione della matrice che rappresenta un endomorfismo (cioe' che non e' ne' piu' alta ne' piu' bassa di tale lunghezza)?
E ancora piu' a monte, come dimostri che esiste una rappresentazione dell'anello degli endomorfismi di $M$ (un $R$-modulo) in un anello di matrici a coefficienti in $R$?
L'esistenza e unicità di questa rappresentazione per gli spazi vettoriali discende dal fatto che negli spazi vettoriali tutti gli oggetti sono liberi e si rompono in indecomponibili di dimensione $1$, ossia in copie dell'anello, quando questo anello e' un campo. Questo e' falsissimo per i moduli.
E come dimostri che la lunghezza di un modulo e' la dimensione della matrice che rappresenta un endomorfismo (cioe' che non e' ne' piu' alta ne' piu' bassa di tale lunghezza)?
E ancora piu' a monte, come dimostri che esiste una rappresentazione dell'anello degli endomorfismi di $M$ (un $R$-modulo) in un anello di matrici a coefficienti in $R$?
L'esistenza e unicità di questa rappresentazione per gli spazi vettoriali discende dal fatto che negli spazi vettoriali tutti gli oggetti sono liberi e si rompono in indecomponibili di dimensione $1$, ossia in copie dell'anello, quando questo anello e' un campo. Questo e' falsissimo per i moduli.
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