Modello non Isomorfo ad $NN$

miuemia
ciao a tutti
ho un bel quesito da porvi determinare un modello non isomorfo ad $NN$ che soddisfa i seguenti assiomi:
1- $AA x \quad (x^{\prime} !=0)$ con $x^{\prime}$ intendo il successore di $x$
2- $AA xAAy\quad(x^{\prime} =y^{\prime} ->x=y)$
3- ogni numero diverso da $0$ è il successore di un numero
e poi tutti gli assiomi del tipo
$x!=x^{\prime}$, $x!=x^{\prime}'$,$x!=x^{\prime}''$,eccetera.

Risposte
Fioravante Patrone1
un alberello?

miuemia
cos'è un alberello????

Fioravante Patrone1
???
e che sei, un matematico che non ha mai guardato fuori dall'uscio?
mai visto un albero, con i suoi rami?


rendilo infinito, con l'immaginazione
mi pare, a occhio, che sia un modello carino

miuemia
non mi è chiaro come funziona.
come inizia questo albero???

Fioravante Patrone1
dal terreno (è senza radici...)

miuemia
potresti illustrarlo meglio...scusa. :-D :-D

Fioravante Patrone1
caro miuemia, preferisco aspettare e vedere se qualcuno ha qualche altra idea
prometto comunque che poi dirò in dettaglio, da bravo matematico che usa i fogli a quadretti, che cosa intendevo dire

una domanda da parte mia (se non mi rispondi ti capisco :-D ): tu sai cos'è un albero (matematicamente, intendo)?

miuemia
si un albero so cos'è! però io sempre studiato alberi binari.
e che hanno una testa cioè iniziano dalll'alto.

Fioravante Patrone1
piantalo in riva a un laghetto e guardalo riflesso nello specchio :D

seriamente, invece: anche i miei alberi (che non sono necessariamente binari, ma magari anche così: :weedman: ) hanno la "testa" e cominciano dall'alto (nonostante io chiami "radice" la testa... Un po' buffo). Comunque miei colleghi li disegnano dal basso in alto. O da destra a sinistra.

ancor più seriamente: c'è un gravissimissimo errore in quello che dici:
"hanno una testa cioè iniziano dall'alto"
qui si stanno confondendo due piani diversi: una cosa è il concetto di albero, altra cosa è la sua rappresentazione (su un foglio, nel piano cartesiano, sul monitor..)

miuemia
si intendevo la rappresentazione. io ho sempre rappresentato alberi binari in quel modo.
però ancora non mi è chiaro il tuo modello.
un albero senza radici?? spero di avere delucidazioni a riguardo. :-D

Fioravante Patrone1
ma nessun altro dice niente?


vabbé
lasciamo perdere i peschi in fiore, gli alberi in riva al lago, i fogli girati di qui, di là, di su, di giù

prendi un albero dei tuoi
prendi la testa*, quello è $0$
la def di $'$ è quella di essere un nodo immediatamente successivo

la 1) funge
anche la 2) direi, no?
idem per la 3)
e così dicasi per il resto (le prorpietà assortite che metti alla fine, come una grattatina di parmigiano)

se, come immagino (non l'hai detto, ma penso fosse sottinteso) che $'$ è una funzione definita dappertutto, siamo obbligati a sorbirci alberi infiniti. Pazienza

questa era la mia idea. Può anche darsi che non funga. A me pare di sì, ma magari non ho notato un "dettaglio" importante


* ma da dove viene questa terminologia? Tu hai mai visto un albero con la testa???? Dammi retta, sostituisci il termine "testa" con "radice" e metterai più a loro agio tutti :-D

miuemia
si ma il nodo successivo a $0$ qualè? cioè questo in questo albero ogni nodo quanti "figli" ha???

fields1
Un altro modello potrebbe essere il seguente.

0,1,2,3,.....,n,...... seguiti da $....,a_{-3},a_{-2},a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},....$.

Formalmente l'insieme degli elementi del modello è $NN uu {a_n : n \in ZZ}$, dove gli $a_n$ sono dei nuovi oggetti da noi creati... Definiamo la funzione successore nel seguente modo: $x'=x+1$ se $x\in NN$; $x'=a_{n+1}$ se $x=a_n$.

Fioravante Patrone1
"miuemia":
si ma il nodo successivo a $0$ qualè? cioè questo in questo albero ogni nodo quanti "figli" ha???

troppi! :oops:
è vero, tu vuoi una funzione
io stesso ho parlato di funzione :-D

peccato, dovrò segare l'albero
ma almeno la legna mi servirà per scaldarmi

l'esempio di fields mi pare più ammodo del mio (cosa non difficile...)

leev
Sera,

2 domandine:
matematicamente un 'modello' cos'è?
perché l'insieme dell'esempio di fields non è isomorfo a $NN$ (immagino sia evidente.. però come si motiva?)

grazie

fields1
In questo caso un modello M degli assiomi è fra le altre cose una 3-upla (X, f, 0), dove X e' un insieme, f e' una funzione da X in X, e 0 e' un elemento di X.
Due modelli (X,',0) e (Y,'',00) si diranno isomorfi se esiste una biettivita' h fra X e Y tale che h(x')=h(x)'' per ogni x appartenente a X e inoltre h(0)=00.

Fioravante Patrone1
perché il modellino di fields non è isomorfo ad $NN$?
perché non c'è una corrispondenza biunivoca fra i due insiemi con le proprietà dette da fields

ora, per fare un esempio, ogni numero naturale è il successore di un successore ... di un successore di zero (indico una sequenza finita)
questa proprietà non vale nell'esempio di fields
mentre se ci fosse una corrispondenza biunivoca come detto da fields, essa dovrebbe valere (vale in $NN$ ed è "trasportata" dalla corrispondenza biunivoca)


(mi preparo una scorta di :oops: già pronta?)

miuemia
ora, per fare un esempio, ogni numero naturale è il successore di un successore ... di un successore di zero (indico una sequenza finita)
questa proprietà non vale nell'esempio di fields


perchè non vale nell'esempio di fields???

Fioravante Patrone1
i suoi $a_n$ non li ottengo come "successore di..." applicato un numero finito di volte a partire da $0$, contrariamente a quello che succede per tutti gli elementi di $NN$

miuemia
adesso ho capito.
si sembrerebbe funzionare.

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