Miscellanea esercizi anelli
Buon venerdì sera a tutti. Vorrei cortesemente chiedere alcune delucidazioni su un quiz che stavo svolgendo. In particolare ho studiato la teoria e mi sono messo a fare alcuni esercizi, su alcuni però mi sono arenato e li ho raccolti qui sotto per ragionarci.
1) Sia (A,+,⋅) un anello unitario e $a,b∈zd(A)$ allora $a+b∈zd(A)$ a intuito metterei falso infatti:
Ho pensato di prendere $ZZ_6={0,1,2,3,4,5}$
$3*2=6=0$ come classi
Tuttavia $3+2=5$ e mi sembra in generale $5*a=0$ non sia vero per nessuna a che non sia a congruente zero modulo 6. ES: $5*6=30=0$ ma sei è già la classe di zero quindi si annulla solo se uno dei due è zero.. Ma come mostro che questo è vero sempre per ogni a?
2) Sia $(A,+,⋅)$ un anello unitario e $A^(×)=A∖zd(A)$, allora $(A×,+,⋅)$ con le naturali operazioni ereditate dall’anello è un sottoanello. Anche questo è falso ma non capisco perché.
3) Consideriamo il gruppo commutativo $Z_4$ e l’insieme degli endomorfismi ad esso associato $End(Z_4)$. Definiamo le seguenti operazioni: siano $f,g∈End(Z_4)$ definiamo
$f+g:Z4→Z4,x↦f(x)+g(x)$
$f⋅g:Z4→Z4,x↦f(g(x))$.
Allora (End(Z4),+,⋅)$ è un anello non commutativo.
In questo ho qualche idea in più:
Ringrazio per eventuali chiarimenti e aiuti
1) Sia (A,+,⋅) un anello unitario e $a,b∈zd(A)$ allora $a+b∈zd(A)$ a intuito metterei falso infatti:
Ho pensato di prendere $ZZ_6={0,1,2,3,4,5}$
$3*2=6=0$ come classi
Tuttavia $3+2=5$ e mi sembra in generale $5*a=0$ non sia vero per nessuna a che non sia a congruente zero modulo 6. ES: $5*6=30=0$ ma sei è già la classe di zero quindi si annulla solo se uno dei due è zero.. Ma come mostro che questo è vero sempre per ogni a?
2) Sia $(A,+,⋅)$ un anello unitario e $A^(×)=A∖zd(A)$, allora $(A×,+,⋅)$ con le naturali operazioni ereditate dall’anello è un sottoanello. Anche questo è falso ma non capisco perché.
3) Consideriamo il gruppo commutativo $Z_4$ e l’insieme degli endomorfismi ad esso associato $End(Z_4)$. Definiamo le seguenti operazioni: siano $f,g∈End(Z_4)$ definiamo
$f+g:Z4→Z4,x↦f(x)+g(x)$
$f⋅g:Z4→Z4,x↦f(g(x))$.
Allora (End(Z4),+,⋅)$ è un anello non commutativo.
In questo ho qualche idea in più:
Ringrazio per eventuali chiarimenti e aiuti
Risposte
Dovresti fare un po' di ordine perché mi pare tu abbia le idee piuttosto confuse non solo su come si dimostrano (o confutano) questi fatti, ma anche su cosa significhi confutare una affermazione. La somma di due divisori dello zero (questo immagino significhi $zd$, che ti sei dimenticato di definire) non è un divisore dello zero, e l'esempio che hai trovato è sufficiente a dimostarlo (5 è invertibile modulo 6).
Gli elementi che non sono divisori dello zero non formano un sottoanello: prendi un anello che ne abbia, per esempio un quoziente di Z modulo un ideale non primo. I divisori dello zero sono i divisori del (generatore minimo del)l'ideale per cui quozienti, e il complementare di questo insieme non è un anello per ovvi motivi.
L'insieme degli endomorfismi di \(\mathbb Z_4\) (o degli altri \(\mathbb Z_n\) più grandi, for that matter, o di un sacco di altri gruppi abeliani...) è un anello non commutativo, proprio perché la composizione di funzioni non è commutativa.
Gli elementi che non sono divisori dello zero non formano un sottoanello: prendi un anello che ne abbia, per esempio un quoziente di Z modulo un ideale non primo. I divisori dello zero sono i divisori del (generatore minimo del)l'ideale per cui quozienti, e il complementare di questo insieme non è un anello per ovvi motivi.
L'insieme degli endomorfismi di \(\mathbb Z_4\) (o degli altri \(\mathbb Z_n\) più grandi, for that matter, o di un sacco di altri gruppi abeliani...) è un anello non commutativo, proprio perché la composizione di funzioni non è commutativa.
Ciao megas_archon
Sai che non ho capito perché dici questo, quindi ribatto per capire dove sbaglio.
Per mostrare una tesi devo fare una dimostrazione, per confutare basta un controesempio. Che è quello che cercavo di trovare.
Il punto è che non avevo pensato di sfruttare il fatto che suggerisci. io ho $5*a≡_6 0$ essendo MCD(5,6)=1 allora essendo invertibile $a≡_6 5^-1*0≡_6 0$.
Il fatto è che io non riuscivo a trovare un caso generico perché sfruttavo semplicemente $5*a≡_6 0$ e sostituivo classi multiple di sei accorgendomi che solo così si annullava, ma non era il procedimento generico e per quello dicevo non essere una dimostrazione, perché non trovavo il modo per generalizzarlo (che cercavo) ma lo vedevo solo intuitivamente (per sostituzioni progressive).
Eh qua non ho molte scuse: sono un idiota. Avevo letto "commutativo" e ho passato 45 minuti a cercare di trovare il modo di mostrarlo, mi rendo conto solo ora che era scritto "non commutativo".
(avendo copiaincollato il testo non mi sono nemmeno reso contro scrivendolo)
Ti ringrazio moltissimo.
Dovresti fare un po' di ordine perché mi pare tu abbia le idee piuttosto confuse non solo su come si dimostrano (o confutano) questi fatti, ma anche su cosa significhi confutare una affermazione.
Sai che non ho capito perché dici questo, quindi ribatto per capire dove sbaglio.
Per mostrare una tesi devo fare una dimostrazione, per confutare basta un controesempio. Che è quello che cercavo di trovare.
Il punto è che non avevo pensato di sfruttare il fatto che suggerisci. io ho $5*a≡_6 0$ essendo MCD(5,6)=1 allora essendo invertibile $a≡_6 5^-1*0≡_6 0$.
Il fatto è che io non riuscivo a trovare un caso generico perché sfruttavo semplicemente $5*a≡_6 0$ e sostituivo classi multiple di sei accorgendomi che solo così si annullava, ma non era il procedimento generico e per quello dicevo non essere una dimostrazione, perché non trovavo il modo per generalizzarlo (che cercavo) ma lo vedevo solo intuitivamente (per sostituzioni progressive).
L'insieme degli endomorfismi di Z4 (o degli altri Zn più grandi, for that matter, o di un sacco di altri gruppi abeliani...) è un anello non commutativo, proprio perché la composizione di funzioni non è commutativa.
Eh qua non ho molte scuse: sono un idiota. Avevo letto "commutativo" e ho passato 45 minuti a cercare di trovare il modo di mostrarlo, mi rendo conto solo ora che era scritto "non commutativo".
(avendo copiaincollato il testo non mi sono nemmeno reso contro scrivendolo)
Ti ringrazio moltissimo.
"ILjumpy":
(End(Z4),+,⋅) è un anello non commutativo.
Veramente questo anello è commutativo. Per dimostrarlo prendiamo due endomorfismi $f,g:ZZ//4ZZ -> ZZ//4ZZ$, è chiaro che la composizione $fg$ è un endomorfismo di $ZZ//4ZZ$.
Siccome ogni elemento di $ZZ//4ZZ$ è una somma di uni (perché $ZZ//4ZZ$ è un gruppo additivo ciclico), se $h$ è un qualsiasi endomorfismo di $ZZ//4ZZ$ e $x$ è un qualsiasi elemento di $ZZ//4ZZ$ abbiamo $h(x)=xh(1)$, e quindi per dimostrare che $fg=gf$ basta mostrare che $fg(1)=gf(1)$.
Scriviamo $f(1)=a in ZZ//4ZZ$ e $g(1)=b in ZZ//4ZZ$, allora $fg(1)=f(b)=bf(1)=ba$ e $gf(1)=g(a)=ag(1)=ab$ sono uguali perché $ab=ba$, essendo $ZZ//4ZZ$ commutativo. Lo stesso argomento funziona con $ZZ//nZZ$ invece di $ZZ//4ZZ$ e è facile mostrare che l'anello $End(ZZ//nZZ)$ è isomorfo come anello a $ZZ//nZZ$ (con somma e prodotto di classi).
Un isomorfismo tra gli anelli $End(ZZ//nZZ)$ e $ZZ//nZZ$ è proprio quello che manda $f$ in $f(1)$.
La commutatività dell'anello degli endomorfismi di un gruppo ciclico non si generalizza a gruppi abeliani non ciclici, per esempio se $p$ è un primo allora l'anello degli endomorfismi di un gruppo del tipo $(ZZ//pZZ)^n$ (gruppo abeliano elementare, che può essere visto naturalmente come spazio vettoriale su $ZZ//pZZ$) è semplicemente l'anello delle matrici $n xx n$ a coefficienti in $ZZ//pZZ$, che non è commutativo se $n ge 2$.
Grazie per la dimostrazione. Non ci sarei mai arrivato.
Ma quindi è falso che:
Essendo questo un controesempio, di fatto.
Ma quindi è falso che:
"megas_archon":
L'insieme degli endomorfismi di \(\mathbb Z_4\) (o degli altri \(\mathbb Z_n\) più grandi, for that matter, o di un sacco di altri gruppi abeliani...) è un anello non commutativo, proprio perché la composizione di funzioni non è commutativa.
Essendo questo un controesempio, di fatto.
Scusa qual è il controesempio? Non ho capito.
"Martino":
[quote="ILjumpy"](End(Z4),+,⋅) è un anello non commutativo.
Veramente questo anello è commutativo.[/quote]
Quello dell'esercizio, di fatto è un anello commutativo, quindi non è vero che l'insieme degli endomorfismi di Z4 è un anello non commutativo
Ok e quindi?
Dove hai preso l'esercizio?
Dove hai preso l'esercizio?
Quindi niente, stavo solo cercando di tirare le somme, dato che la risposta prima della tua del gentile megas_archon era
che mi sembrava contraddire quanto da te dimostrato, volevo capire se avevo capito male o se era appunto errata/imprecisa. Tutto lì
Siccome sto imparando e sono un neofita volevo esser certo di aver compreso avendo due vostre considerazioni diametralmente opposte.
Per il resto: l'esercizio l'ho preso dal tutorato della mia università. Credo quindi sia un errore del testo.
"megas_archon":
L'insieme degli endomorfismi di \(\mathbb Z_4\) (o degli altri \(\mathbb Z_n\) più grandi, for that matter, o di un sacco di altri gruppi abeliani...) è un anello non commutativo, proprio perché la composizione di funzioni non è commutativa.
che mi sembrava contraddire quanto da te dimostrato, volevo capire se avevo capito male o se era appunto errata/imprecisa. Tutto lì
Siccome sto imparando e sono un neofita volevo esser certo di aver compreso avendo due vostre considerazioni diametralmente opposte.
Per il resto: l'esercizio l'ho preso dal tutorato della mia università. Credo quindi sia un errore del testo.
Secondo me megas_archon vuole dire che in generale la composizione di funzioni non è commutativa, ma ci sono casi in cui lo è. Comunque aspetta una risposta sua.
Ti ringrazio, in ongi caso mi importava capire di aver compreso. Mi sembra chiaro ora
Grazie a tutti voi!
Grazie a tutti voi!
Ah, ho semplicemente brainfartato, volevo proprio dire che OP scoprisse che l'anello degli endomorfismi del gruppo abeliano ciclico è commutativo per un motivo particolare, e altri gruppi abeliani, invece, non ce l'hanno commutativo. Il fatto è che \(\hom_{\mathbb Z}(\mathbb Z/n\mathbb Z, \mathbb Z/n\mathbb Z)\cong \mathbb Z/n\mathbb Z\) (come anelli), ma in generale le cose sono più complicate.
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