Minimo valore per un polinomio

[salvozungri]

Qualche giorno fa trovai un esercizio davvero molto semplice a prima vista, ma mi costo ore ed ore di fatica... Non sono riuscito a concludere nulla. Due giorni dopo, venne postata la soluzione.. Volevo prendermi a pedate ma purtroppo non ne sono capace . Per rendervi partecipe della mia pena:

Determinare il minimo valore che può assumere il polinomio:

$p(x)=\sum_{n=0}^2008 (-1)^n(2008-n+1)x^n, " con " x\inRR$

[Hint]:Scrivete i primi e gli ultimi termini della somma, ragionate in modo semplice e non utilizzate teoremi che non facciano parte del programma delle scuole superiori...(sono indizi )

[size=75][Edit]:Ho cambiato titolo, questo mi sembra più adatto del precedente che era "polinomi crudeli"[/size]

Fermi tutti, ho commesso un errore nella trascrizione! Chiedo scusa se già qualcuno ci stava sbattendo la testa. Mi auguro di aver limitato i danni in qualche modo! Terribilmente dispiaciuto

[ViciousGoblin]

Puo' essere che faccia

1005 ?

Ho una congettura che darebbe questo risultato, ma non l'ho pienamente verificata

[salvozungri]

Sì è esatto!

[ViciousGoblin]

E' il $(-1)^n$ che e' stato aggiunto ??

[salvozungri]

sì scusami, ho commesso un errore nella trascrizione... me ne sono accorto in ritardo...

[ViciousGoblin]

"Mathematico":sì scusami, ho commesso un errore nella trascrizione... me ne sono accorto in ritardo...

pero' non cambia niente - non so ancora come dimostrare il risultato, ma cambiando $x$ con $-x$ si puo' far venire o togliere quel $(-1)^n$

Quindi anche la versione iniziale andava bene

[ViciousGoblin]

Ti dico come ho fatto - anche se probabilmente c'e' una strada molto piu' facile (poi vado a vedere ...)

La mia idea e' nata dall'osservare la regolarita' dei coefficienti che decrescono da 2009 a 1 via via che la potenza cresce. Quindi generalizzando ho preso il polinomio

$P_k(x)=\sum_{n=0}^k(k+1-n)x^n$

e a quel punto ho provato per valori di $k=0,2,4$ e ho visto che tutti hanno derivata nulla in $-1$ dove valgono 1,2,3.

A questo punto ho buttato la scommessa che il minimo di $P_{2k}$ fosse $k+1$ (e sembra che sia giusto ....)

Per dimostrare la congettura ho provato varie strade - per esempio si dimostra abbastanza facilmente che la derivata di $P_{2k}$ fa zero in $-1$ (perche' si annullano a due a due i termini simmetrici
rispetto al centro) pero' non sono riuscito a dimostrare cosi' che $-1$ e' di minimo.
La cosa piu' interessante che ho scoperto e' che $P_k(x)$ e' una somma di progressioni geometriche:

$P_k(x)=\sum_{n=0}^k\sum_{h=0}^n x^h$

A questo punto vi risparmio i conti (magari domattina li riporto), raggruppando opportunamente i termini di queste somme mi pare che venga

$P_{2k}=k+1+(x+1)^2\sum_{n=0}^k\sum_{h=0}^{n-1}x^{2h}$

da cui il risultato segue.

vado a dormire ...

[salvozungri]

Ottimo la soluzione è proprio quella, puoi fare a meno di riportare i conti . lo stesso ragionamento può essere applicato al polinomio che ho scritto! I miei complimenti, io mi sono perso applicando teoremi sulla teoria delle equazioni, inutilmente ...

[ViciousGoblin]

"Mathematico":Ottimo la soluzione è proprio quella, puoi fare a meno di riportare i conti . lo stesso ragionamento può essere applicato al polinomio che ho scritto! I miei complimenti, io mi sono perso applicando teoremi sulla teoria delle equazioni, inutilmente ...

Grazie per avermi risparmiato i conti. Comunque se andava fatto cosi' non era proprio immediato - da dove e' uscito questo problema?

[salvozungri]

Io metto il link, nel caso in cui vi siano problemi di spam, potete cancellare il messaggio, oppure mi avvertite che lo cancello io xD.

Il problema originario l'ho trovato qui, qualche giorno fa.
Lo puoi trovare anche qui. Ti ringrazio ancora per la risposta e per non avermi mandato a quel paese per aver trascritto male la traccia .

[ViciousGoblin]

"Mathematico":Io metto il link, nel caso in cui vi siano problemi di spam, potete cancellare il messaggio, oppure mi avvertite che lo cancello io xD.

Il problema originario l'ho trovato qui, qualche giorno fa.
Lo puoi trovare anche qui. Ti ringrazio ancora per la risposta e per non avermi mandato a quel paese per aver trascritto male la traccia .

Vista la soluzione ribadisco che non era banale (e il modo "empirico" in cui ci sono arrivato conferma che quando un problema e' difficile da analizzare conviene generalizzarlo ...).
Inoltre la tua traccia, come ti ho gia' detto, era equivalente all'originale.

Ciao