Minimo comune multiplo per massimo comune denominatore

[dissonance]

Allora ragazzi io avrei una domanda di livello demenziale, vi prego di non prendermi troppo a pernacchie. Quando seguii il corso di Algebra all'università, il professore ci ricordò una relazione nota fin dai tempi della scuola elementare:

$"mcm"(a, b)"MCD"(a,b)=ab$

valida se $a, b$ sono numeri interi. Ora questa relazione richiede soltanto la possibilità di usare gli strumenti base della fattorizzazione, per cui vado tranquillo nell'aspettarmi che valga in tutti i domini fattoriali (UFD). Domanda 1 Faccio male ad andare tranquillo?

Senonché oggi pomeriggio mi sono ritrovato come un cretino. Ho preso dei monomi $X^{m_1} ldots X^{m_k}$ e mi sono faticosamente accorto che

$"mcm"(X^{m_1} ... X^{m_k})"MCD"(X^{m_1} ... X^{m_k})=X^{"max"(m_1 ... m_k) + "min"(m_1 ... m_k)}$

mentre

$X^{m_1}...X^{m_k}=X^{m_1+...+m_k}$

da cui ho trionfalmente concluso che

$forall m_1...m_k \in NN,\quad m_1+...+m_k="max"(m_1 ... m_k)+"min"(m_1 ... m_k)$;

ovviamente una gran stupidaggine a meno che $k=2$.

Domanda 2 Come mai la formula della nonna funziona solo con due fattori? Qual è la generalizzazione corretta?

[Studente Anonimo]

In generale dati due numeri "supernaturali" [tex]\prod_p p^{a_p}[/tex], [tex]\prod_p p^{b_p}[/tex] (funzioni dall'insieme dei numeri primi a [tex]\mathbb{N} \cup \{\infty\}[/tex], col prodotto definito da [tex]\prod_p p^{a_p} \cdot \prod_p p^{b_p} := \prod_p p^{a_p+b_p}[/tex]) si ha che

[tex]\text{MCD}(\prod_p p^{a_p}, \prod_p p^{b_p}) = \prod_p p^{\min(a_p,b_p)}[/tex],

[tex]\text{mcm}(\prod_p p^{a_p}, \prod_p p^{b_p}) = \prod_p p^{\max(a_p,b_p)}[/tex].

Quindi se indichiamo [tex]f_i(x_1,...,x_k)[/tex] l'[tex]i[/tex]-esimo elemento di [tex]\{x_1,...,x_k\}[/tex] rispetto all'ordine crescente, per [tex]i = 1,...,k[/tex], cosicche' [tex]f_1=\min[/tex] e [tex]f_k=\max[/tex], e definiamo

[tex]g_i(\prod_p p^{a_{1p}}, \prod_p p^{a_{2p}}, ..., \prod_p p^{a_{kp}}) := \prod_p p^{f_i(a_{1p},...,a_{kp})}[/tex],

abbiamo che [tex]g_1 = \text{MCD}[/tex], [tex]g_k=\text{mcm}[/tex] e

[tex]\prod_{i=1}^k g_i(\prod_p p^{a_{1p}}, \prod_p p^{a_{2p}}, ..., \prod_p p^{a_{kp}}) = \prod_{i=1}^k \prod_p p^{f_i(a_{1p},...,a_{kp})} = \prod_{i=1}^k \prod_p p^{a_{ip}}[/tex].

[Studente Anonimo]

In pratica, usando le notazioni qui sopra, [tex]a_1+...+a_k = f_1(a_1,...,a_k) + ... + f_k(a_1,...,a_k)[/tex] ... banalmente

PS. Fai bene ad andare tranquillo.

[dissonance]

Non è che sia proprio facilissimo, eh... Però, pensandoci bene dovevo aspettarmelo. Questa è un po' come la formula del principio di inclusione-esclusione, che per due fattori è perfettamente semplice ed intuitiva, ma quando il numero di fattori aumenta diventa sempre più infernale.

Comunque, ci devo riflettere un po' su. Meno male che almeno posso andare tranquillo, va!