Mi aiutereste a capire che cos'è che non capisco?
"Edoardo Sernesi - Geometria 1, Appendice A (pag. 443)":
Siano $D$ un dominio e $X$ un'indeterminata. Per ogni successione finita $a_0, a_1, ..., a_n$ di elementi di $D$, l'espressione
$f(X)=a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + ... + a_n X^n$
definisce un polinomio in $X$ a coefficienti in $D$, di cui $a_0, a_1, ..., a_n$ sono i coefficineti, e $a_0$, $a_1 X$, ..., $a_n X$ i monomi, o termini. Un'altra espressione $g(X)=b_0 + b_1 X + ... + b_m X^m$ con $b in D$, definisce lo stesso polinomio se e solo se $f(X)$ e $g(X)$ hanno gli stessi termini con cefficienti diversi da $0$.
Due domande:
1) Stando a questa definizione $2x^3+x^2+x-5$ e $0x^4+2x^3+x^2+x-5$ non definiscono lo stesso polinomio perché per tirare fuori queste espressioni si usano due successioni finite differenti (la prima è $a_0=-5, a_1=1, a_2=1, a_3=2$ e la seconda è $a_0=-5, a_1=1, a_2=1, a_3=2, a_4=0$): giusto?
2) Sempre stando a questa definizione mi vien da dire che $x^2+0x+1$ e $x^2+0x+1$ non definiscono lo stesso polinomio perché hanno gli stessi termini ma non con coefficienti diversi da $0$: questo però mi suona strano; sicuramente sono io che non ho capito bene, quindi mi potete spiegare cosa non ho capito? Forse quando Sernesi dice "hanno gli stessi termini con cefficienti diversi da $0$" vuole intendere che devone essere uguali i termini con coefficienti non nulli e dei termini con coefficienti nulli ce ne strafreghiamo? Però se così è, allora quanto affermo alla domanda 1) è sbagliato e per tanto $2x^3+x^2+x-5$ e $0x^4+2x^3+x^2+x-5$ definiscono lo stesso polinomio???
Grazie in anticipo a tutti (e già che ci sono, Buona Notte, visto che domani mattina ho la sveglia alle 5.30
)
Risposte
l'ho sempre detto che il linguagigo umano non e' univocamente 'decodificabile'.
il mio nome e' Weizenbaum
il mio nome e' Weizenbaum
Domanda 1 ) Forse si può vedere così :
il primo polinomio appartiene al sottospazio dei polinomi di grado $<= 3 $ ed ha quindi dimensione 4
Il secondo polinomio appartiene al sottospazio dei polinomi di grado $<= 4 $ , quindi di dimensione 5.
il primo polinomio appartiene al sottospazio dei polinomi di grado $<= 3 $ ed ha quindi dimensione 4
Il secondo polinomio appartiene al sottospazio dei polinomi di grado $<= 4 $ , quindi di dimensione 5.
Onestamente non ho visto su nessun altro libro questa precisazione sui coefficienti.
Mi pare pertinente l'osservazione di Camillo se ci si restringe ad un sottospazio, ma nell'anello dei polinomi $K[X]$ dovrebbero essere la stessa cosa.
Inoltre secondo quella definizione un polinomio del tipo $X^2+0*X+1$ non è uguale a sè stesso, il che mi sembra decisamente strano.
Ovviamente aspettiamo pareri più autorevoli del mio.
Mi pare pertinente l'osservazione di Camillo se ci si restringe ad un sottospazio, ma nell'anello dei polinomi $K[X]$ dovrebbero essere la stessa cosa.
Inoltre secondo quella definizione un polinomio del tipo $X^2+0*X+1$ non è uguale a sè stesso, il che mi sembra decisamente strano.
Ovviamente aspettiamo pareri più autorevoli del mio.
Io ti posso solo dare la definizione che preferisco di polinomio (in una variabile) a coefficienti reali: si tratta di una funzione $NN -> RR$ con "cozero finito" (per farla breve 
) - ti consiglio di adottare questa definizione: a me ha fatto sparire ogni dubbio sui polinomi, e mi ha fatto abolire il cosiddetto "principio di identità dei polinomi", cosa che non ho mai digerito (perché non mi era chiaro se fosse un risultato o una definizione - in realtà è proprio la definizione di polinomio). Moralmente, l'immagine di $n \in NN$ non sarà altro che il coefficiente di $x^n$. E andare a vedere quando due funzioni sono uguali è molto facile: basta confrontare tutti i valori.
Quindi due polinomi $\sum_ia_ix^i$, $\sum_ib_ix^i$ (queste sono somme "finite", nel senso che l'insieme dei $a_i$, $b_j$ non nulli è finito) coincidono se e solo se $a_i=b_i$ per ogni $i$.
) - ti consiglio di adottare questa definizione: a me ha fatto sparire ogni dubbio sui polinomi, e mi ha fatto abolire il cosiddetto "principio di identità dei polinomi", cosa che non ho mai digerito (perché non mi era chiaro se fosse un risultato o una definizione - in realtà è proprio la definizione di polinomio). Moralmente, l'immagine di $n \in NN$ non sarà altro che il coefficiente di $x^n$. E andare a vedere quando due funzioni sono uguali è molto facile: basta confrontare tutti i valori.Quindi due polinomi $\sum_ia_ix^i$, $\sum_ib_ix^i$ (queste sono somme "finite", nel senso che l'insieme dei $a_i$, $b_j$ non nulli è finito) coincidono se e solo se $a_i=b_i$ per ogni $i$.
"Martino":
Io ti posso solo dare la definizione che preferisco di polinomio (in una variabile) a coefficienti reali: si tratta di una funzione $NN -> RR$ con "cozero finito" (per farla breve
Anche a me piace questa definizione, ma unicamente perchè, da analista, sono affezionato alle successioni.
Praticamente stiamo identificando lo spazio dei polinomi $K[X]$ sul campo $K$ con la famiglia delle successioni definitivamente nulle in $K$, cioè con l'insieme:
$c_(00)(K)=\{a=(a_n)_(n in NN_0)in K^(NN_0): (\exists nu_a in NN_0: AA nge nu_a,\quad a_n=0_K)\}$.
Facendo questa identificazione, il grado di un polinomio non nullo è dato dal numero naturale $v(a)=nu_a-1ge 0$.
Le operazioni di somma e prodotto per lo scalare sono definiti in maniera ovvia; mentre il prodotto tra due elementi di $c_(00)(K)$ è il prodotto secondo Cauchy (e si prova senza sforzo che $c_(00)(K)$ è chiuso in $K^(NN_0)$ rispetto a tale operazione di prodotto): dotato di tali operazioni, $c_(00)(K)$ è un'algebra su $K$ con tante belle proprietà. In particolare, vale la usuale regola d'addizione dei gradi e, se conveniamo di assegnare grado pari a $-oo$ alla successione identicamente nulla $O$, possiamo scrivere: $AA a,b in c_(00)(K),\quad v(a*b)=v(a)+v(b)$.
In questa prospettiva è abbastanza facile capire quando due polinomi si dicono uguali, poiché tutto si riduce a confrontare due successioni definitivamente nulle: il criterio di uguaglianza tra due in questo caso è il seguente:
$a=b <=> v(a)=v(b) \quad \text{e} \quad AA nle v(a)=v(b),\quad a_n=b_n$.
Spero di essermi spiegato bene nonostante la febbre.
P.S.: Evidentemente la struttura di base $K$ la puoi scegliere ad arbitrio, purchè sia un anello almeno. Le proprietà di $c_(00)(K)$, però dipendono essenzialmente da quelle di $K$: ad esempio la regola di addizione dei gradi vale ancora se $K$ è un d.d.i. piuttosto che un campo, ma essa cessa di esser valida non appena in $K$ ci sia un divisore di zero; analogo discorso si può far per la commutatività del prodotto di elementi di $c_(00)(K)$, etc...
Innanzitutto vi ringrazio tutti per le vostre utilissime risposte.
Ho consultato anche l'Artin (ALGEBRA - BORINGHIERI) e ci ho trovato una definizione di polinomio a una indeterminata molto simile a quella di Martino. Quanto al Sernesi penso che l'interpretazione giusta sia quella fornita da Sergio.
Quanto alla definizione di gugo82: beh, sono troppo piccolo per capirla!!! Non scherzo, seriamente non c'ho capito molto, sarà perchè le successione ancora non le abbiamo fatte o perchè non abbiamo ancora affronttato la questione polinomi in analisi; ad ogni modo prometto di tornarci sopra non appena avrò qualche strumento in più.
Ancora grazie a tutti.
Ho consultato anche l'Artin (ALGEBRA - BORINGHIERI) e ci ho trovato una definizione di polinomio a una indeterminata molto simile a quella di Martino. Quanto al Sernesi penso che l'interpretazione giusta sia quella fornita da Sergio.
Quanto alla definizione di gugo82: beh, sono troppo piccolo per capirla!!! Non scherzo, seriamente non c'ho capito molto, sarà perchè le successione ancora non le abbiamo fatte o perchè non abbiamo ancora affronttato la questione polinomi in analisi; ad ogni modo prometto di tornarci sopra non appena avrò qualche strumento in più.
Ancora grazie a tutti.
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