Mcd tra polinomi su Z/n

[miriam161089]

ho un problema con esercizi di questo tipo
Trovare il MCD tra x^2 + x - 1 e x^3 - 2x - 1 defniti su Z e sul campo
Z=2
io saprei risolverlo se entrambi fossero definiti su Z
essendo definito su Z/2 come mi devo comportare??
grazie mille

[Studente Anonimo]

"GundamRX91":salvo errori, il MCD è zero (spero )

Vuoi dire che il polinomio nullo divide entrambi i polinomi? Non direi proprio: l'unico polinomio divisibile per il polinomio nullo è il polinomio nullo.

[gundamrx91-votailprof]

Uhmmm... cantonata in corso
Martino ti riporto i passi della divisione perchè sto sicuramente sbagliando qualcosa.

$x^3-bar(2)x-bar(1) : x^2+x-bar(1)$

$x^3 : x^2 = x$ con primo resto parziale $-x^2-x-bar(1)$
$-x^2 : x^2 = -1$ con secondo resto parziale $-bar(2)$

Ma $-bar(2)$ non è uguale a $[-2]_2=[0]_2$ ??

[miriam161089]

infatti anche a me uscirebbe così però mi sembrava strano proprio il fatto che uscisse $0$

[miriam161089]

forse ho avuto un'illuminazione il fatto che $MCD=0$ non vuol dire che $MCD=x^2+x-1$?

[Studente Anonimo]

"GundamRX91":$x^3-bar(2)x-bar(1) : x^2+x-bar(1)$

$x^3 : x^2 = x$ con primo resto parziale $-x^2-x-bar(1)$
$-x^2 : x^2 = -1$ con secondo resto parziale $-bar(2)$

Ma $-bar(2)$ non è uguale a $[-2]_2=[0]_2$ ??

Hai trovato che il resto della divisione è zero, non che il MCD è zero. Cioè hai dimostrato che [tex]x^3-2x-1 = x^3-1 = (x-1)(x^2+x-1)[/tex].

[gundamrx91-votailprof]

Che stupido, è vero, quindi dovrebbe avere ragione miriam e il $MCD$ è proprio $x^2+x-1$ in quanto divide entrambi i polinomi: in un caso abbiamo che $x^2+x-1 | x^2+x-1$ e nell'altro $x^2+x-1 | x^3-2x-1$

E corretto?

[Studente Anonimo]

Sì.

[gundamrx91-votailprof]

Ok, grazie.

[miriam161089]

grazie mille a entrambi