M.C.D. in $ZZ[i]$
Salve a tutti!
Ho un esercizio che riguarda il M.C.D. in $ZZ$ e non so come poter applicare l'algoritmo euclideo.
$M.C.D.(2,1-7i)$. Prima domanda: come inizio con l'algoritmo? Devo iniziare con il numero con la norma maggiore?
In questo caso sarebbe $1-7i$?
Poi come procedo per calcolare il resto?
Grazie a tutti
Ho un esercizio che riguarda il M.C.D. in $ZZ$ e non so come poter applicare l'algoritmo euclideo.
$M.C.D.(2,1-7i)$. Prima domanda: come inizio con l'algoritmo? Devo iniziare con il numero con la norma maggiore?
In questo caso sarebbe $1-7i$?
Poi come procedo per calcolare il resto?
Grazie a tutti
Risposte
Se devi solo trovare il MCD non ti serve applicare l'algoritmo euclideo, basta che fattorizzi i due elementi in irriducibili e prendi i fattori irriducibili in comune. Per fattorizzare [tex]1-7i[/tex] è utile fattorizzare la sua norma (in [tex]\mathbb{Z}[/tex]), poi una volta fattorizzata la norma, seleziona un fattore irriducibile per ogni coppia di fattori coniugati. Così facendo trovi una fattorizzazione di [tex]1-7i[/tex].
Il numero 2 è un numero primo. Non posso fattorizzarlo, o sbaglio?
Mi è chiesto esplicitamente di usare l'algoritmo euclideo quindi è un pò più complicato di una semplice fattorizzazione.
Ho provato a dividere $1-7i$ per 2 ed ottengo $25/(1+7i)$ , quindi come devo procedere?
Mi è chiesto esplicitamente di usare l'algoritmo euclideo quindi è un pò più complicato di una semplice fattorizzazione.
Ho provato a dividere $1-7i$ per 2 ed ottengo $25/(1+7i)$ , quindi come devo procedere?
Il numero [tex]2[/tex] si fattorizza come [tex](1+i)(1-i)[/tex]. Saper applicare l'algoritmo euclideo significa saper fare le divisioni con resto in [tex]\mathbb{Z}[/tex]. Quindi puoi procedere come qui. Ora devo andare, alla prossima 
Procedendo con la divisione $ ((1-7i)/2)=(1/2)-(7/2)i $. Poi dovrei trovare un'approssimazione di questo numero immaginario (?) che potrebbe essere $1-3i$ dopodichè l'algoritmo della divisione verrebbe così:
$ (1-7i)= 2(1-3i) -1-i$ ? ovviamente $-1-i$ è il resto che ho calcolato dallo stesso algoritmo della divisione.
é giusto o continuo a non capirci nulla?
$ (1-7i)= 2(1-3i) -1-i$ ? ovviamente $-1-i$ è il resto che ho calcolato dallo stesso algoritmo della divisione.
é giusto o continuo a non capirci nulla?
E' giusto. Ora [tex]-1-i[/tex] divide entrambi quindi è il MCD. Fine
Ok. Si, infatti continuando con l'algoritmo ottengo: $1-3i= (1-2i)(-1-i)+0$ il chè mi dice che il primo resto calcolato è il mio ricercato M.CD.!!!!
Grazie mille
Grazie mille
Prego comunque ricorda che il MCD è definito a meno di moltiplicare per elementi invertibili, quindi in realtà ci sono quattro MCD, e sono [tex]1+i[/tex], [tex]-(1+i)[/tex], [tex]i(1+i)[/tex] e [tex]-i(1+i)[/tex]. Quando si dice "il MCD" si intende uno qualsiasi di questi quattro (non c'è ragione di preferirne uno in particolare). Ciao!
comunque ricorda che il MCD è definito a meno di moltiplicare per elementi invertibili, quindi in realtà ci sono quattro MCD, e sono [tex]1+i[/tex], [tex]-(1+i)[/tex], [tex]i(1+i)[/tex] e [tex]-i(1+i)[/tex]. Quando si dice "il MCD" si intende uno qualsiasi di questi quattro (non c'è ragione di preferirne uno in particolare). Ciao!
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