$\mathbb{Z}$ non è prodotto diretto di stgr propr
Spiegare perchè il gruppo degli interi $(\mathbb{Z},+)$ non può essere prodotto diretto di due sottogruppi propri.
Grazie
Grazie
Risposte
[xdom="Martino"]Sei pregato di proporre le tue riflessioni personali e le tue elaborazioni, come da regolamento. Grazie.[/xdom]Per esempio potresti domandarti per cominciare come sono fatti i sottogruppi di [tex]\mathbb{Z}[/tex].
I sottogruppi di $\mathbb{Z}$ sono
1)tutti gruppi ciclici $\rightarrow$ sottogruppi finiti
2) l'insieme degli interi pari (perchè contiene lo 0)
3) e analogamente tutti i sottogruppi $<2^k>$
4) i prodotti dei gruppi ciclici (perchè sono abeliani)
Se voglio che $\mathbb{Z}=H_1\times\cdots\H_m$ allora vorrà dire che $\forall{g}\inG, g=h_1\cdot\cdots\cdoth_m$ per certi $h_i$.
Il problema (forse) sta nei numeri dispari... non li riesco a ottenere come prodotto di questi sottogruppi?
mmm.. eppure se facessi il prodotto diretto tra tutti i gruppi ciclici di ordine potenze di tutti i primi esistenti otterrei tutti gli interi!
1)tutti gruppi ciclici $\rightarrow$ sottogruppi finiti
2) l'insieme degli interi pari (perchè contiene lo 0)
3) e analogamente tutti i sottogruppi $<2^k>$
4) i prodotti dei gruppi ciclici (perchè sono abeliani)
Se voglio che $\mathbb{Z}=H_1\times\cdots\H_m$ allora vorrà dire che $\forall{g}\inG, g=h_1\cdot\cdots\cdoth_m$ per certi $h_i$.
Il problema (forse) sta nei numeri dispari... non li riesco a ottenere come prodotto di questi sottogruppi?
mmm.. eppure se facessi il prodotto diretto tra tutti i gruppi ciclici di ordine potenze di tutti i primi esistenti otterrei tutti gli interi!
Non si leggono le formule...
Fai un po' di confusione, i sottogruppi di [tex]\mathbb{Z}[/tex] sono semplicemente tutti e soli quelli del tipo [tex]n \mathbb{Z}[/tex] con [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex].
Due fattori diretti hanno intersezione banale. Esistono due sottogruppi non banali di [tex]\mathbb{Z}[/tex] con intersezione banale?
Due fattori diretti hanno intersezione banale. Esistono due sottogruppi non banali di [tex]\mathbb{Z}[/tex] con intersezione banale?
$\mathbb Z$ ha sottogruppi ciclici finiti non banali???
ehm.. si ho fatto un po di confusione.. beh se i soli sottogruppi di $\mathbb{Z}$ sono gli $n\mathbb{Z}$ allora non posso fare prodotto diretto xke dati due $p\mathbb{Z}$ e $q\mathbb{Z}$ anche con $(p,q)=1$ essi avranno intersezione non banale, ad esempio ci sta $mcm(p,q)$.
Però un dubbio..
$\mathbb{Z}/{nmathbb{Z}}$ è un quoziente di $Z$, perchè $n\mathbb{Z}$ è normale in $\mathbb{Z}$.
Soddisfa le proprietà di gruppo.
MA non è un sottoinsieme di $\mathbb{Z}$ (perchè?? mi verrebbe da dire che lo è... so che le strutture sono diverse, ma nelle i laterali sono sottoinsiemi del gruppo....??)
Però un dubbio..
$\mathbb{Z}/{nmathbb{Z}}$ è un quoziente di $Z$, perchè $n\mathbb{Z}$ è normale in $\mathbb{Z}$.
Soddisfa le proprietà di gruppo.
MA non è un sottoinsieme di $\mathbb{Z}$ (perchè?? mi verrebbe da dire che lo è... so che le strutture sono diverse, ma nelle i laterali sono sottoinsiemi del gruppo....??)
Invece $(\mathbb{Z}/{15\mathbb{Z}}, +)$ ad esempio lo posso scrivere come prodotto diretto (che equivale alla somma diretta in questo caso?) ad esempio di
$(\mathbb{Z}/{15\mathbb{Z}}, +) = \mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}}\oplus\mathbb{Z}/{5\mathbb{Z}}$ ?
$(\mathbb{Z}/{15\mathbb{Z}}, +) = \mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}}\oplus\mathbb{Z}/{5\mathbb{Z}}$ ?
Hai detto bene: le operazioni sono diverse. E' questo che conta. Altrimenti ogni gruppo numerabile sarebbe un sottogruppo di $\mathbb Z$.
P.s. $\mathbb Z$ non ha torsione e quindi non puo' avere sottogruppi ciclici finiti non banali.
P.P.s. immagino che qua sopra a secondo membro ci sia $\mathbb Z / (5\mathbb Z)$... Cosi' e' corretto.
P.s. $\mathbb Z$ non ha torsione e quindi non puo' avere sottogruppi ciclici finiti non banali.
P.P.s. immagino che qua sopra a secondo membro ci sia $\mathbb Z / (5\mathbb Z)$... Cosi' e' corretto.
Aspetta però!!
detta cosi non è giusta...
con $\mathbb{Z}/{5\mathbb{Z}}$ si indica ${0,1,2,3,4}$... e questo non ha intersezione banale con ${0,1,2}=\mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}}$...
intendevo
$3\mathbb{Z}\oplus5\mathbb{Z}$ ma quozientati rispetto a 15... cioè ${0,3,6,9,12}\oplus{0,5,10}$. E' giusta questa osservazione?
quindi
$\mathbb{Z}/{15\mathbb{Z}} = {\3mathbb{Z}}/{15\mathbb{Z}}\oplus{5\mathbb{Z}}/{15\mathbb{Z}}$ ??
bah.. mi par strano
detta cosi non è giusta...
con $\mathbb{Z}/{5\mathbb{Z}}$ si indica ${0,1,2,3,4}$... e questo non ha intersezione banale con ${0,1,2}=\mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}}$...
intendevo
$3\mathbb{Z}\oplus5\mathbb{Z}$ ma quozientati rispetto a 15... cioè ${0,3,6,9,12}\oplus{0,5,10}$. E' giusta questa osservazione?
quindi
$\mathbb{Z}/{15\mathbb{Z}} = {\3mathbb{Z}}/{15\mathbb{Z}}\oplus{5\mathbb{Z}}/{15\mathbb{Z}}$ ??
bah.. mi par strano
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$\{0,1,2,3,4\}$ e $\{0,3,6,9,12}$ sono la stessa cosa. Ed ENTRAMBI hanno intersezione banale con $\{0,1,2\}$.
P.s. La tua ultima formula e' giusta (ma come puoi notare e' diversa da quella che hai scritto sopra ed e' uguale a quella che ho scritto io
)
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$\{0,1,2,3,4\}$ e $\{0,3,6,9,12}$ sono la stessa cosa. Ed ENTRAMBI hanno intersezione banale con $\{0,1,2\}$.
P.s. La tua ultima formula e' giusta (ma come puoi notare e' diversa da quella che hai scritto sopra ed e' uguale a quella che ho scritto io
)
quale formula hai scritto te?
?? sono giuste entrambe le scritture:
1) $\mathbb{Z}/{15\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}}\oplus\mathbb{Z}/{5\mathbb{Z}}$
2) $\mathbb{Z}/{15\mathbb{Z}} = {5\mathbb{Z}}/{15\mathbb{Z}}\oplus{3\mathbb{Z}}/{15\mathbb{Z}}$
?
questo proprio perchè
$ \mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}} \cong {5\mathbb{Z}}/{15\mathbb{Z}}$ ?
?? sono giuste entrambe le scritture:
1) $\mathbb{Z}/{15\mathbb{Z}} = \mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}}\oplus\mathbb{Z}/{5\mathbb{Z}}$
2) $\mathbb{Z}/{15\mathbb{Z}} = {5\mathbb{Z}}/{15\mathbb{Z}}\oplus{3\mathbb{Z}}/{15\mathbb{Z}}$
?
questo proprio perchè
$ \mathbb{Z}/{3\mathbb{Z}} \cong {5\mathbb{Z}}/{15\mathbb{Z}}$ ?
esatto sono identiche, ma ovviamente uno usa la prima.
Io non ho scritto esplicitamente nessuna formula, avevo solo detto di mettere $\mathbb Z/(5\mathbb Z)$ al posto di $\mathbb Z/(15\mathbb Z)$. Ma mi pare che ora l'hai fatto.
Quindi mi pare che ora siamo d'accordo.
Io non ho scritto esplicitamente nessuna formula, avevo solo detto di mettere $\mathbb Z/(5\mathbb Z)$ al posto di $\mathbb Z/(15\mathbb Z)$. Ma mi pare che ora l'hai fatto.
Quindi mi pare che ora siamo d'accordo.
grazie
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