$\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$ gruppo ciclico

[Seneca1]

Esercizio: Si dimostri che [tex]$\mathbb{Z}_m \times \mathbb{Z}_n$[/tex], con [tex]$m,n$[/tex] coprimi, è un gruppo ciclico.

Il generatore sarà l'elemento [tex]$([1],[1])$[/tex]. Devo dimostrare che, preso [tex]$z = ([z_1],[z_2])$[/tex], [tex]$\exists p \in \mathbb{Z}$[/tex] tale che [tex]$p ([1] , [1]) = ([g_1] ,[g_2] )$[/tex].

Come si può formalizzare?

[Studente Anonimo]

Usando l'identita' di Bezout: esistono [tex]a,b[/tex] interi tali che [tex]an+bm=1[/tex], quindi detto

[tex]p = anz_1+bmz_2[/tex]

si ha [tex]p \equiv z_1[/tex] modulo [tex]m[/tex] e [tex]p \equiv z_2[/tex] modulo [tex]n[/tex].

Questo risultato ha un carattere ben piu' generale:

Teorema cinese del resto. Siano [tex]A[/tex] un anello commutativo e [tex]I_1,...,I_k[/tex] suoi ideali tali che [tex]I_i+I_j = A[/tex] per ogni [tex]i \neq j[/tex]. Allora [tex]A/I_1...I_k \cong A/I_1 \times ... \times A/I_k[/tex].

Nel tuo caso [tex]A=\mathbb{Z}[/tex], [tex]k=2[/tex], [tex]I_1=m\mathbb{Z}[/tex], [tex]I_2=n \mathbb{Z}[/tex].

[Seneca1]

Avevo pensato all'identita di Bezout, ma non ero sicuro di come si potesse scrivere la dimostrazione. Grazie!