\(\mathbb{Z}/ {1001\mathbb{Z}}\) è prodotto diretto di tre campi
Come da titolo vorrei provare che \(\mathbb{Z} / 1001 \mathbb{Z}\) è isomorfo al prodotto diretto di tre campi mediante il seguente teorema (Piacentini Cattaneo, pag. 286):
Sto avendo problemi con (b). Essendo \(1001=7 \cdot 11 \cdot 13\), il mio candidato è, a meno di isomorfismi, \(\mathbb{Z}_7 \times \mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_{13} \).
Per farla breve: (a) discende dai teoremi di Sylow: questi mi garantiscono infatti l'esistenza di uno ed un solo sottogruppo di ordine \(7\), di uno di ordine \(11\) e di uno di ordine \(13\); essendo unici sono insiemisticamente uguali ai loro coniugati, e quindi sono anche normali in \(\mathbb{Z}_{1001}\). Per quanto riguarda (c) (a patto di aver bene inteso il significato di quel cappuccio) direi che si possa concludere osservando che il periodo di una eventuale intersezione \(\ne e\) dovrebbe dividere l'ordine dei sottogruppi in gioco - il che è assurdo, dato che sono coinvolti solo numeri primi, e quindi a maggior ragione primi tra loro. A patto di non aver detto castronerie sopra, come provo che \(\mathbb{Z}_{1001} = \mathbb{Z}_7 \mathbb{Z}_{11} \mathbb{Z}_{13}\)?
EDIT. C'è poi da notarsi che il teorema vale per i gruppi, ma credo che la strada per estendere il risultato ai campi sia breve/brevissima...
Ringrazio.
"Piacentini Cattaneo":
5.14.16 Teorema. Sia \(G\) un gruppo e siano \(N_1, \dots, N_k \) sottogruppi di \(G\) tali che(a) \(N_i \unlhd G \);[/list:u:2n6hkww0]
(b) \(G = N_1 N_2 \dots N_k \);[/list:u:2n6hkww0]
(c) \(N_i \cap (N_1 N_2 \dots N_{i-1} \widehat{N_i} N_{i+1} \dots N_k) = \{e\} \).[/list:u:2n6hkww0]Allora \(G\) è isomorfo al prodotto diretto \(N_1 \times N_2 \times \dots \times N_k \).
Sto avendo problemi con (b). Essendo \(1001=7 \cdot 11 \cdot 13\), il mio candidato è, a meno di isomorfismi, \(\mathbb{Z}_7 \times \mathbb{Z}_{11} \times \mathbb{Z}_{13} \).
Per farla breve: (a) discende dai teoremi di Sylow: questi mi garantiscono infatti l'esistenza di uno ed un solo sottogruppo di ordine \(7\), di uno di ordine \(11\) e di uno di ordine \(13\); essendo unici sono insiemisticamente uguali ai loro coniugati, e quindi sono anche normali in \(\mathbb{Z}_{1001}\). Per quanto riguarda (c) (a patto di aver bene inteso il significato di quel cappuccio) direi che si possa concludere osservando che il periodo di una eventuale intersezione \(\ne e\) dovrebbe dividere l'ordine dei sottogruppi in gioco - il che è assurdo, dato che sono coinvolti solo numeri primi, e quindi a maggior ragione primi tra loro. A patto di non aver detto castronerie sopra, come provo che \(\mathbb{Z}_{1001} = \mathbb{Z}_7 \mathbb{Z}_{11} \mathbb{Z}_{13}\)?
EDIT. C'è poi da notarsi che il teorema vale per i gruppi, ma credo che la strada per estendere il risultato ai campi sia breve/brevissima...
Ringrazio.
Risposte
Indovina l'indovinello l'applicazione:
\[
\varphi:a\in\mathbb{Z}_{1001}\to(a^{11\cdot13};a^{7\cdot13};a^{7\cdot11})\in\mathbb{Z}_7\times\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{13}
\]
è omomorfa a un di gruppi omomorfismello.[ot]Lo confesso sono ubriaco di matematica
[/ot]
\[
\varphi:a\in\mathbb{Z}_{1001}\to(a^{11\cdot13};a^{7\cdot13};a^{7\cdot11})\in\mathbb{Z}_7\times\mathbb{Z}_{11}\times\mathbb{Z}_{13}
\]
è omomorfa a un di gruppi omomorfismello.[ot]Lo confesso sono ubriaco di matematica
[/ot]
Ok, e così concludo per direttissima (poi per esercizio verifico a mano che si tratta di un iso).
Ma per quanto riguarda il mio dubbio?
Ma per quanto riguarda il mio dubbio?
Che dubbio hai? Non lo leggo! 
Poi, per farla breve, si afferma che\(\displaystyle G\) è il prodotto diretto interno dei suoi sottogruppi \(\displaystyle N_k\).
P.S.: Quell'applicazione l'ho scritta di getto, controllala per bene.
Poi, per farla breve, si afferma che\(\displaystyle G\) è il prodotto diretto interno dei suoi sottogruppi \(\displaystyle N_k\).
P.S.: Quell'applicazione l'ho scritta di getto, controllala per bene.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo