MATEMATICA : numeri razionali, pari, naturali

[giuliaste1]

Ciao a tutti! Avrei bisogno di un aiuto per risolvere questi due esercizi:

1)Un numero razionale può avere uno sviluppo decimale illimitato non periodico?
(So che la risposta è no ma non so come motivare la risposta)

2)Il secondo esercizio chiede di considerare questa affermazione:
"I numeri naturali pari sono tanti quanti tutti i numeri naturali"
-Puoi interpretare l'informazione precedente in modo tale che essa sia vera?
-come puoi dimostrarla?

Spero possiate aiutarmi a risolverli. Grazie in anticipo

[killing_buddha]

1. Per il modo in cui è fatto l'algoritmo di divisione tra due numeri, se ad un certo punto dei riporti successivi ottieni un certo resto $r$, questo determina che resto otterrai al passo successivo. I casi sono due; o a un certo punto ottieni zero, e da lì otterrai zero come resto sempre, oppure no. In questo secondo caso, se esiste un resto $r$ ottenuto due volte, quella parte dello sviluppo decimale di $p/q$ si ripete uguale. Resta da vedere che i resti devono ripetersi: questo è ovvio, perché hai un numero finito di scelte per i resti della divisione per 10.

2. La funzione $n\mapsto 2n$ è una biiezione tra $\mathbb N$ e \(2\mathbb N := \{2k\mid k\ge 0\}\); ovviamente l'inversa è \(2k\mapsto k\).