[Mat. Disc.] Domanda banale sul buon ordinamento
Salve, questa già so che è una domanda banale ma vorrei sapere da voi la risposta (sperando in tempi brevi) per poi poter affrontare l'esame tra qualche giorno.
Per come la so io un insieme è ben ordinato se:
"Per ogni possibile sottoinsieme non vuoto, si può sempre stabilire l'elemento minimo secondo la relazione scelta".
La mia domanda partendo da ciò è:
Se io ho un insieme ed una relazione e non tutti gli elementi dell'insieme sono confrontabili, può quell'insieme secondo quella relazione essere un insieme ben ordinato o prima di tutto ogni elemento deve essere confrontabile secondo la relazione con ogni altro elemento dell'insieme e poi ne controllo il minimo dei sottoinsiemi?
Grazie per le eventuali risposte.
Per come la so io un insieme è ben ordinato se:
"Per ogni possibile sottoinsieme non vuoto, si può sempre stabilire l'elemento minimo secondo la relazione scelta".
La mia domanda partendo da ciò è:
Se io ho un insieme ed una relazione e non tutti gli elementi dell'insieme sono confrontabili, può quell'insieme secondo quella relazione essere un insieme ben ordinato o prima di tutto ogni elemento deve essere confrontabile secondo la relazione con ogni altro elemento dell'insieme e poi ne controllo il minimo dei sottoinsiemi?
Grazie per le eventuali risposte.
Risposte
Un insieme ben ordinato è necessariamente totalmente ordinato.
Per convincertene, prendi $x,y in I$ ben ordinato; allora ${x,y} \ne \emptyset$ e dunque ha minimo. Ma allora o $x
Ne segue che se un insieme non è totalmente ordinato allora non è ben ordinato.
Per convincertene, prendi $x,y in I$ ben ordinato; allora ${x,y} \ne \emptyset$ e dunque ha minimo. Ma allora o $x
Ne segue che se un insieme non è totalmente ordinato allora non è ben ordinato.
Oh, grazie mille, quindi se io in un insieme A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ho la relazione R = "a R b se e solo se: a = b oppure 2*a < b"
A non è quindi un insieme ben ordinato secondo R poichè ad esempio a = 4 non è in relazione con b = 8, proprio perchè manca la proprietà di totalità che è propria dell'insieme totalmente ordinato. Quindi a maggior ragione non è neache ben ordinato.
E' corretto ciò?
Grazie ancora.
A non è quindi un insieme ben ordinato secondo R poichè ad esempio a = 4 non è in relazione con b = 8, proprio perchè manca la proprietà di totalità che è propria dell'insieme totalmente ordinato. Quindi a maggior ragione non è neache ben ordinato.
E' corretto ciò?
Grazie ancora.
Sì, direi che può andare.
Comunque, prego, figurati.
Comunque, prego, figurati.
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