Mappa G-equivariante
Ho provato a svolgere questo esercizio, ma non sono sicuro che la dimostrazione da me data sia corretta, mi piacerebbe ricevere dei consigli a riguardo:
Sia $G$ un gruppo che agisce su $X,Y$ insiemi e $x_0inX$ e $y_0inY$. Se $G$ agisce transitivamente su $X$ e $stab (x_0)substab(y_0)$, dimostrare che è data una mappa $G$-equivariante $phi:X->Y$
La soluzione a cui sono giunto è che se pongo $phi(x_0)=y_0$ posso definire la mia mappa come segue $phi(x)=y=g*phi(x_0)$ che risulta essere equivariante.
Osservo che $phi(x)$ equivale a scrivere $phi(g*x_0)$ essendo l'azione transitiva. Inoltre ha senso porre $phi(x_0)=y_0$ poichè $phi(x_0)=phi(g*x_0)$ con $ginstab(x_0)$, ma per ipotesi sappiamo che $g$ stabilizza anche $y_0$ pertanto si ha $g*phi(x_0)=g*y_0=y_0$
Che ne dite?
Inoltre $phi$ è surgettiva se l'azione è anche transitiva su $Y$, infatti si avrebbe che $phi(X)=G*y_0$ ma se tale azione è transitiva quest'azione che descrive l'orbita di $y_0$ descriverà tutto $Y$
Edit: sistemate le ipotesi
Sia $G$ un gruppo che agisce su $X,Y$ insiemi e $x_0inX$ e $y_0inY$. Se $G$ agisce transitivamente su $X$ e $stab (x_0)substab(y_0)$, dimostrare che è data una mappa $G$-equivariante $phi:X->Y$
La soluzione a cui sono giunto è che se pongo $phi(x_0)=y_0$ posso definire la mia mappa come segue $phi(x)=y=g*phi(x_0)$ che risulta essere equivariante.
Osservo che $phi(x)$ equivale a scrivere $phi(g*x_0)$ essendo l'azione transitiva. Inoltre ha senso porre $phi(x_0)=y_0$ poichè $phi(x_0)=phi(g*x_0)$ con $ginstab(x_0)$, ma per ipotesi sappiamo che $g$ stabilizza anche $y_0$ pertanto si ha $g*phi(x_0)=g*y_0=y_0$
Che ne dite?
Inoltre $phi$ è surgettiva se l'azione è anche transitiva su $Y$, infatti si avrebbe che $phi(X)=G*y_0$ ma se tale azione è transitiva quest'azione che descrive l'orbita di $y_0$ descriverà tutto $Y$
Edit: sistemate le ipotesi
Risposte
Penso che manchi una parte del problema. Messa come l'hai scritta tu lo $stab(y_0)$ non è definito. Quindi correggi.
Altra correzione sulla forma è che la definizione sarebbe meglio scriverla $phi(g\cdot x_0) = g \cdot y_0$. Una volta definita la funzione usi il fatto che l'azione è transitiva per dire che il dominio di $phi$ è tutto $X$. Questo perché altrimenti nella tua definizione di funzione metti in mezzo un valore $g$ che va definito ed inoltre risulta più compatta della tua in quanto non ha bisogno di esplicitare il valore di $phi(x_0)$.
Altra correzione sulla forma è che la definizione sarebbe meglio scriverla $phi(g\cdot x_0) = g \cdot y_0$. Una volta definita la funzione usi il fatto che l'azione è transitiva per dire che il dominio di $phi$ è tutto $X$. Questo perché altrimenti nella tua definizione di funzione metti in mezzo un valore $g$ che va definito ed inoltre risulta più compatta della tua in quanto non ha bisogno di esplicitare il valore di $phi(x_0)$.
Grazie Vict, per le correzioni.
Non capisco solo quando dici che manca una parte del problema. Nel senso che io ho trascritto la traccia del mio professore ed anche lì $stab(y_0)$ non è definito
Non capisco solo quando dici che manca una parte del problema. Nel senso che io ho trascritto la traccia del mio professore ed anche lì $stab(y_0)$ non è definito
Manca l'ipotesi che il gruppo $G$ agisce su $Y$. Non l'hai detto esplicitamente.
Condivido anche l'altra correzione di vict85. Avresti potuto esprimerti meglio.
Devi definire una mappa $phi:X\to Y$. Sia $x\in X$. Per la transitività dell'azione di $G$ su $X$, esiste $g\in G$ tale che $g\cdot x_0=x$.
Poniamo $\phi(x)=g\cdot y_0$.
L'ipotesi che $"stab"(x_0)\subset"stab"(y_0)$ serve a dimostrare che questa applicazione $phi$ è ben definita, ovvero che
$g\cdot x_0=h\cdot x_0\ \Rightarrow\ g\cdot y_0=h\cdot y_0$
(prova a farlo)
Ora non ti resta che provare che $phi$ è equivariante. Prima non l'avevi fatto.
Condivido anche l'altra correzione di vict85. Avresti potuto esprimerti meglio.
Devi definire una mappa $phi:X\to Y$. Sia $x\in X$. Per la transitività dell'azione di $G$ su $X$, esiste $g\in G$ tale che $g\cdot x_0=x$.
Poniamo $\phi(x)=g\cdot y_0$.
L'ipotesi che $"stab"(x_0)\subset"stab"(y_0)$ serve a dimostrare che questa applicazione $phi$ è ben definita, ovvero che
$g\cdot x_0=h\cdot x_0\ \Rightarrow\ g\cdot y_0=h\cdot y_0$
(prova a farlo)
Ora non ti resta che provare che $phi$ è equivariante. Prima non l'avevi fatto.
Ah si mi era sfuggito, avete ragione. Ho corretto subito! 
Ok, termino di dimostrare il tutto e poi provo a postarlo.
Grazie
Ok, termino di dimostrare il tutto e poi provo a postarlo.
Grazie
Ho provato a scrivere meglio la dimostrazione:
Definisco la mappa nel modo seguente $phi(g*x_0)=g*y_0$. Poichè l'azione su $X$ è transitiva per ipotesi, al variare di $ginG$ l'orbita di $x_0$ sarà tutto $X$.
Quindi la nostra applicazione è effettivamente definita da $X->Y$
Facciamo vedere che è effettivamente $G$-equivariante.
Allora $AAginStab(x_0)$, $phi(x_0)=phi(g*x_0)=g*y_0=y_0$. Nell'ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che se $g$ stabilizza $x_0$ allora stabilizza $y_0$, tutto ciò da ipotesi.
Quindi abbiamo provato che $phi(x_0)=y_0$.
Calcoliamo $phi(x)=phi(g*x_0)$, per opportuno $ginG$. questa è uguale ad $g*y_0$, ma per quanto sopra dimostrato ciò è uguale a $g*phi(x_0)$, cioè la mappa è $G$-equivariante.
Così è corretta?
Grazie a tutti
PS Dovrei dimostrare che è ben definita ancora, ma non ho ancora avuto modo di formalizzare.
Definisco la mappa nel modo seguente $phi(g*x_0)=g*y_0$. Poichè l'azione su $X$ è transitiva per ipotesi, al variare di $ginG$ l'orbita di $x_0$ sarà tutto $X$.
Quindi la nostra applicazione è effettivamente definita da $X->Y$
Facciamo vedere che è effettivamente $G$-equivariante.
Allora $AAginStab(x_0)$, $phi(x_0)=phi(g*x_0)=g*y_0=y_0$. Nell'ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che se $g$ stabilizza $x_0$ allora stabilizza $y_0$, tutto ciò da ipotesi.
Quindi abbiamo provato che $phi(x_0)=y_0$.
Calcoliamo $phi(x)=phi(g*x_0)$, per opportuno $ginG$. questa è uguale ad $g*y_0$, ma per quanto sopra dimostrato ciò è uguale a $g*phi(x_0)$, cioè la mappa è $G$-equivariante.
Così è corretta?
Grazie a tutti
PS Dovrei dimostrare che è ben definita ancora, ma non ho ancora avuto modo di formalizzare.
"mistake89":Non ho capito cosa hai dimostrato.
Facciamo vedere che è effettivamente $G$-equivariante.
Allora $AAginStab(x_0)$, $phi(x_0)=phi(g*x_0)=g*y_0=y_0$. Nell'ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che se $g$ stabilizza $x_0$ allora stabilizza $y_0$, tutto ciò da ipotesi.
Quindi abbiamo provato che $phi(x_0)=y_0$.
Calcoliamo $phi(x)=phi(g*x_0)$, per opportuno $ginG$. questa è uguale ad $g*y_0$, ma per quanto sopra dimostrato ciò è uguale a $g*phi(x_0)$, cioè la mappa è $G$-equivariante.
Se ho capito bene, quello che devi dimostrare è che per ogni $x in X$ e $h in G$ si ha [tex]\phi(h \cdot x) = h \cdot \phi(x)[/tex] (è questa la tua "$G$-equivarianza" no?). Ora scrivi $x$ come $g*x_0$ e fai il conto.
Sì è quello ciò che intendo.
Cioè se ho $phi(h*x)=phi(h*(g*x_0))=h*phi(g*x_0)$
Questo?
Cioè se ho $phi(h*x)=phi(h*(g*x_0))=h*phi(g*x_0)$
Questo?
"mistake89":Sì, devi dimostrare questo.
Cioè se ho $phi(h*x)=phi(h*(g*x_0))=h*phi(g*x_0)$
Questo?
Se io ho $phi(h*x)=phi(h*g*x_0)$ per come opera la $phi$ tutto questo è uguale a $h*g*y_0=h*g*phi(x_0)=h*phi(g*x_0)$
e' giusto?
Grazie
e' giusto?
Grazie
Sì, è gusto, ma per far capire che hai capito ti consiglio di scriverlo con tutti i passaggi, così:
[tex]\phi(h \cdot x) = \phi (h \cdot (g \cdot x_0)) = \phi ((hg) \cdot x_0) = (hg) \cdot \phi(x_0) =[/tex]
[tex]= h \cdot (g \cdot \phi(x_0)) = h \cdot \phi(g \cdot x_0) = h \cdot \phi(x)[/tex].
[tex]\phi(h \cdot x) = \phi (h \cdot (g \cdot x_0)) = \phi ((hg) \cdot x_0) = (hg) \cdot \phi(x_0) =[/tex]
[tex]= h \cdot (g \cdot \phi(x_0)) = h \cdot \phi(g \cdot x_0) = h \cdot \phi(x)[/tex].
Hai ragione!
Grazie mille degli aiuti
Sono stato un pò tonto
Grazie mille degli aiuti
Sono stato un pò tonto
Ehi, Mistake89!
Non ti dimenticare di dimostrare che l'applicazione che hai definito è ben posta.
E sennò a che serve l'ipotesi che $"stab"(x_0)\subset"stab"(y_0)$?
Non ti dimenticare di dimostrare che l'applicazione che hai definito è ben posta.
E sennò a che serve l'ipotesi che $"stab"(x_0)\subset"stab"(y_0)$?
Certo certo
anzi grazie per avermelo ricordato
anzi grazie per avermelo ricordato
"cirasa":
L'ipotesi che $"stab"(x_0)\subset"stab"(y_0)$ serve a dimostrare che questa applicazione $phi$ è ben definita, ovvero che
$g\cdot x_0=h\cdot x_0\ \Rightarrow\ g\cdot y_0=h\cdot y_0$
(prova a farlo)
Ci stavo pensando a questo fatto, però questa implicazione mi viene ovvia nel caso in cui $stab(x_0)=stab(y_0)$ (una sorta di ingezione!)
Se ho l'inclusione stretta, come nelle ipotesi potrebbe accadere però che $hinStab(y_0)\\Stab(x_0)$ allora $h*x_0$ sarà un certo elemento $x$ diverso da $x_0$, mentre $h*y_0=y_0$, dove sta l'errore?
Scrivo meglio:
Se io considero due elementi $x,x'inX$ e $x'=h*x_0$ con $hinStab(y_0)\\Stab(x_0)$
allora non è vero $phi(x)=g*y_0$ sia uguale a $phi(x')=h*y_0=y_0$.
A me però una tale condizione sembra più descrivere l'ingettività dell'applicazione (tant'è che nell'esercizio si chiede successivamente "Dimostrare che se $Stab(x_0)=Stab(y_0)$ allora $phi$ è ingettiva) più che il fatto che non sia ben definita. O mi sto sbagliando?
Mmm...non capisco cosa dici...
Ecco cosa volevo:
Hai definito $\phi(x)=g\cdot y_0$, dove $g$ è un elemento di $G$ tale che $g\cdot x_0=x$.
Il problema della buona positura di questa applicazione è il seguente: se scelgo un altro $h \in G$ tale che $h\cdot x_0=x$, dobbiamo controllare che il valore di $phi$ non cambi.
In parole povere dobbiamo controllare che se $g,h\in G$ sono due elementi in $G$ tali che $g\cdot x_0=x$ e $h\cdot x_0=x$, allora deve essere $g\cdot y_0=h\cdot y_0$.
Verifichiamolo:
Se $g\cdot x_0=x=h\cdot x_0$, allora
$\Rightarrow\ g\cdot x_0=h\cdot x_0$
$\Rightarrow\ h^{-1}(g\cdot x_0)=x_0$
$\Rightarrow\ (h^{-1}g)\cdot x_0=x_0$
$\Rightarrow\ h^{-1}g\in "stab"(x_0)\subset"stab"(y_0)$
$\Rightarrow\ h^{-1}g\in "stab"(y_0)$
$\Rightarrow\ (h^{-1}g)\cdot y_0=y_0$
$\Rightarrow\ g\cdot y_0=h\cdot y_0$
Problemi?
Ecco cosa volevo:
Hai definito $\phi(x)=g\cdot y_0$, dove $g$ è un elemento di $G$ tale che $g\cdot x_0=x$.
Il problema della buona positura di questa applicazione è il seguente: se scelgo un altro $h \in G$ tale che $h\cdot x_0=x$, dobbiamo controllare che il valore di $phi$ non cambi.
In parole povere dobbiamo controllare che se $g,h\in G$ sono due elementi in $G$ tali che $g\cdot x_0=x$ e $h\cdot x_0=x$, allora deve essere $g\cdot y_0=h\cdot y_0$.
Verifichiamolo:
Se $g\cdot x_0=x=h\cdot x_0$, allora
$\Rightarrow\ g\cdot x_0=h\cdot x_0$
$\Rightarrow\ h^{-1}(g\cdot x_0)=x_0$
$\Rightarrow\ (h^{-1}g)\cdot x_0=x_0$
$\Rightarrow\ h^{-1}g\in "stab"(x_0)\subset"stab"(y_0)$
$\Rightarrow\ h^{-1}g\in "stab"(y_0)$
$\Rightarrow\ (h^{-1}g)\cdot y_0=y_0$
$\Rightarrow\ g\cdot y_0=h\cdot y_0$
Problemi?
mmm, hai ragione Cirasa!
In realtà nella mia testa, non so perchè, stavo pensando di dover dimostrare un'altra cosa...
Grazie mille
In realtà nella mia testa, non so perchè, stavo pensando di dover dimostrare un'altra cosa...
Grazie mille
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