L'unione di una famiglia di insiemi numerabili è numerabile.
Buongiorno sto studiano
Teorema: L'unione di una famiglia insiemi numerabile è numerabile.
Ho qualche dubbio su alcuni passaggi della dimostrazione.
Dimostrazione:
Sia $(S_n)_(n in NN)$ successione di insiemi numerabili.
Posto $S=bigcup_(n in NN)S_n$, provo che
Per la prima, considero la funzione
la quale per ipotesi è biettiva, inoltre, considero
Infine la composta $i circ f : N to S$ è iniettiva, perché è composta di applicazioni iniettive.
Dunque $|NN| le |S|.$
Per la seconda $|S| le |NN|$ osservo $|NN|=|NN times NN|$, quindi, provo $|S| le |NN times NN|$.
Sia $n in NN$ e considero $f_n : S_n to NN$ applicazione biettiva.
Sia
Allora si ha
Dunque, considero $alpha : x in S to (m_x, n_x) in NN times NN$ basta far vedere che tale funzione è iniettiva.
Quindi siano $x, y in S$ tali che $x ne y$ la tesi allora è $alpha(x) ne alpha (y)$ cioè $(m_x, n_x) ne (m_y,n_y).$
Per costruzione, può capitare che $m_x ne m_y$, quindi, $(m_x, n_x) ne (m_y,n_y)$ cioè $alpha(x) ne alpha (y), $ fin qui tutto chiaro.
Ora si può verificare che $m_x = m_y,$ allora $S_(m_x)=S_(m_y)$, $f_(m_x)=f_(m_y)...$
la dimostrazione continua, vorrei chiarire prima questo dubbio, cioè non mi sono chiare le seguenti relazioni
Spero di essere stato chiaro nell'esporre il mio dubbio.
Saluti.
Teorema: L'unione di una famiglia insiemi numerabile è numerabile.
Ho qualche dubbio su alcuni passaggi della dimostrazione.
Dimostrazione:
Sia $(S_n)_(n in NN)$ successione di insiemi numerabili.
Posto $S=bigcup_(n in NN)S_n$, provo che
$|NN| le |S|$
$|S| le |NN|$
infine applicherò il teorema di Cantor-Bernstein.Per la prima, considero la funzione
$f:NN to S_i$ con $i in NN$
la quale per ipotesi è biettiva, inoltre, considero
$imm: x in S_i to x in S$
la quale è iniettiva. Infine la composta $i circ f : N to S$ è iniettiva, perché è composta di applicazioni iniettive.
Dunque $|NN| le |S|.$
Per la seconda $|S| le |NN|$ osservo $|NN|=|NN times NN|$, quindi, provo $|S| le |NN times NN|$.
Sia $n in NN$ e considero $f_n : S_n to NN$ applicazione biettiva.
Sia
$x in S=bigcup_(n in NN)S_n$,
dalla definizione di unione di insiemi, esiste un $i in NN$ tale che $x in S_i,$in tal caso posso considerare $emptyset ne {m in NN \|\ x in S_m} subseteq NN$ e sia $m_x=min{m in NN \|\ x in S_m}.$
Allora si ha
$x in S_(m_x),$ $f_(m_x) : S_(m_x) to NN$ e $f_(m_x)(x)=n_x$
Dunque, considero $alpha : x in S to (m_x, n_x) in NN times NN$ basta far vedere che tale funzione è iniettiva.
Quindi siano $x, y in S$ tali che $x ne y$ la tesi allora è $alpha(x) ne alpha (y)$ cioè $(m_x, n_x) ne (m_y,n_y).$
Per costruzione, può capitare che $m_x ne m_y$, quindi, $(m_x, n_x) ne (m_y,n_y)$ cioè $alpha(x) ne alpha (y), $ fin qui tutto chiaro.
Ora si può verificare che $m_x = m_y,$ allora $S_(m_x)=S_(m_y)$, $f_(m_x)=f_(m_y)...$
la dimostrazione continua, vorrei chiarire prima questo dubbio, cioè non mi sono chiare le seguenti relazioni
$S_(m_x)=S_(m_y)$, $f_(m_x)=f_(m_y)$
perché i due insiemi sono uguali, per essere uguali devono contenere gli stessi elementi, contengono gli stessi elementi ?, inoltre, le due funzioni per essere uguali devono avere dominio, codominio e devono agire nella stessa maniera, ma non conosco come agiscono.Spero di essere stato chiaro nell'esporre il mio dubbio.
Saluti.
Risposte
L'unione di una famiglia numerabile* di insiemi numerabili è numerabile; vuoi che la cardinalità di ogni \(S_n\) sia minore di \(\omega\) o al più \(\omega\)? E vuoi il risultato per l'unione (pensanod gli insiemi come sottoinsiemi di un insieme più grande), o per l'unione disgiunta (il coprodotto)?
Ciao fulcanelli,
Mi chiedevo perché da $m_x=m_y$ seguisse che $S_(m_x)= S_(m_y)$, mi sono dato una risposta facendo un esempio:
sia $(S_n)_(n in NN)$ successione di insiemi numerabili, considero due elementi $x, y $ tali che
$x in S_2, S_4, S_9, S_234, S_456$, dunque, $A={2,4,9, 234, 456}$
$y in S_11, S_234, S_2, S_3478, S_111$, dunque, $B={11,234, 2, 3478, 111}$
allora $minA=minB=2$,quindi, $S_2=S_(minA)$ e $S_2=S_(minB)$ cioè $S_(minA)=S_(minB).$
Invece per le due funzioni $f_(m_x), f_(m_y)$ non riesco a capire perché sono uguali.
"fulcanelli":si esatto.
L'unione di una famiglia numerabile* di insiemi numerabili è numerabile; vuoi che la cardinalità di ogni \( S_n \) sia minore di \( \omega \) o al più \( \omega \)? E vuoi il risultato per l'unione (pensanod gli insiemi come sottoinsiemi di un insieme più grande)
Mi chiedevo perché da $m_x=m_y$ seguisse che $S_(m_x)= S_(m_y)$, mi sono dato una risposta facendo un esempio:
sia $(S_n)_(n in NN)$ successione di insiemi numerabili, considero due elementi $x, y $ tali che
$x in S_2, S_4, S_9, S_234, S_456$, dunque, $A={2,4,9, 234, 456}$
$y in S_11, S_234, S_2, S_3478, S_111$, dunque, $B={11,234, 2, 3478, 111}$
allora $minA=minB=2$,quindi, $S_2=S_(minA)$ e $S_2=S_(minB)$ cioè $S_(minA)=S_(minB).$
Invece per le due funzioni $f_(m_x), f_(m_y)$ non riesco a capire perché sono uguali.
Gli "o" della domanda erano disgiuntivi, non mi aspettavo una risposta tipo "sì"...
Forse ho capito anche perché le due funzioni sono uguali. Infatti, siano
In tal caso considero un $x in S_(m_x), $si ha $f_(m_x)(x)=n_x$ e $f_(m_y)(x)=n_y$ necessariamente $n_x=n_y$ poiché la funzione è biettiva.
Ho fatto bene ?
Mi sono confuso, il si è riferito solo alla seconda domanda che mi hai fatto.
$f_(m_x):S_(m_x) to NN,$ $f_(m_y):S_(m_y) to NN$
nel mio caso devo verificare che agiscono nella stessa maniera, essendo dominio e codominio uguali. In tal caso considero un $x in S_(m_x), $si ha $f_(m_x)(x)=n_x$ e $f_(m_y)(x)=n_y$ necessariamente $n_x=n_y$ poiché la funzione è biettiva.
Ho fatto bene ?
"fulcanelli":
Gli "o" della domanda erano disgiuntivi, non mi aspettavo una risposta tipo "sì"...
Mi sono confuso, il si è riferito solo alla seconda domanda che mi hai fatto.
Buonasera, ho detto qualcosa che non va ?
Una curiosità: da dove viene questa dimostrazione? Appunti presi a lezione? Delle dispense? Un libro?
Dispense della mia professoressa, perché questa domanda ?
Sono in PDF? Puoi linkarle?
Perché non ho capito tutte queste capriole con gli indici.
Perché non ho capito tutte queste capriole con gli indici.
Il file non ce l'ho, ho solo il cartaceo, se vuoi posso farti le foto della dimostrazione, e inviarle a te.
Anche se non troverai niente di diverso da quello che scritto qui. Fammi sapere.
Anche se non troverai niente di diverso da quello che scritto qui. Fammi sapere.
No va be'.
Non ti preoccupare.
Era più che altro una curiosità dato che non seguivo il motivo di piazzare tutti questi indici e contro-indici.
Comunque se \( m_{x} = m_{y} \) allora l'indice che individua l'insieme nella famiglia è lo stesso, quindi è lo stesso l'insieme individuato nella famiglia. Se è lo stesso l'insieme, è la stessa la funzione biiettiva da quell'insieme a \( \mathbb{N} \), perché per ogni \(i\)-esimo insieme individuato, \(f_{i}\) è la funzione biiettiva che lo rende equipotente a \( \mathbb{N} \), quindi se peschi lo stesso insieme, evidentemente peschi la stessa funzione.
Non ti preoccupare.
Era più che altro una curiosità dato che non seguivo il motivo di piazzare tutti questi indici e contro-indici.
Comunque se \( m_{x} = m_{y} \) allora l'indice che individua l'insieme nella famiglia è lo stesso, quindi è lo stesso l'insieme individuato nella famiglia. Se è lo stesso l'insieme, è la stessa la funzione biiettiva da quell'insieme a \( \mathbb{N} \), perché per ogni \(i\)-esimo insieme individuato, \(f_{i}\) è la funzione biiettiva che lo rende equipotente a \( \mathbb{N} \), quindi se peschi lo stesso insieme, evidentemente peschi la stessa funzione.
Grazie G.D.
Comunque, la dimostrazione continua cosi:
Siano $x,y in S_(m_x)$ e $f_(m_x) : S_(m_x)to NN,$ con $xney$ dunque, l'applicazione è biettiva per cui risulta $f_(m_x)(x)nef_(m_x)(y)$, cioè, $n_x=f_(m_x)(x)nef_(m_x)(y)=f_(m_y)(y)=n_y$, quindi, $alpha(x) ne alpha(y)$ pertanto l'applicazione è iniettiva.
Segue $ |S| le |NN times NN|$ allora $|S| le |NN|. $
Infine la tesi segue dal Teorema di Cantor-Bernstein e dall'osservazione fatta in precedenza.
Saluti
Comunque, la dimostrazione continua cosi:
Siano $x,y in S_(m_x)$ e $f_(m_x) : S_(m_x)to NN,$ con $xney$ dunque, l'applicazione è biettiva per cui risulta $f_(m_x)(x)nef_(m_x)(y)$, cioè, $n_x=f_(m_x)(x)nef_(m_x)(y)=f_(m_y)(y)=n_y$, quindi, $alpha(x) ne alpha(y)$ pertanto l'applicazione è iniettiva.
Segue $ |S| le |NN times NN|$ allora $|S| le |NN|. $
Infine la tesi segue dal Teorema di Cantor-Bernstein e dall'osservazione fatta in precedenza.
Saluti
Quindi ti torna tutto?
Si, quello che hai detto lo posso dire anche con un esempio, come
allora mi torna altrimenti no.
Va bene ?
"Pasquale 90":
sia $(S_n)_(n in NN)$ successione di insiemi numerabili, considero due elementi $x, y $ tali che
$x in S_2, S_4, S_9, S_234, S_456$, dunque, $A={2,4,9, 234, 456}$
$y in S_11, S_234, S_2, S_3478, S_111$, dunque, $B={11,234, 2, 3478, 111}$
allora $minA=minB=2$,quindi, $S_2=S_(minA)$ e $S_2=S_(minB)$ cioè $S_(minA)=S_(minB).$
allora mi torna altrimenti no.
Va bene ?
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