Lunghezza di un modulo
Quello che scrivo ha come principale riferimento Intersection Theory di Fulton, Appendice A.
Sia $A$ un anello commutative, noetheriano e con unita' e $M$ un $A$-modulo finitamente generato. Si da' per scontato che esiste una catena di sottomoduli di $M$
\[ M=M_0 \supset M_1 \supset ...\supset M_r = 0\]
tali che i fattori $M_i / M_{i+1}$ sono isomorfi a quozienti $A/\mathfrak{p}$ con $\mathfrak{p}$ ideale primo di $A$. Costruire questa catena dovrebbe essere non troppo difficile, ma non riesco a concludere. Io farei cosi':
Siccome $M$ e' finitamente generato (diciamo da $r$ elementi), e' un quoziente di $A^r$, attraverso un certo omomorfismo $\phi$. Prendo tutte le proiezioni e quoziento sui nuclei di $\phi$. I fattori che trovo in questo modo sono della forma $A/I$ per certi ideali $I$. A questo punto vorrei applicare il teorema cinese dei resti, per spezzare $A/I$. Il problema e' che in generale $I$ non e' intersezione di ideali primi (e l'ipotesi di noetherianita' non basta per garantire cio'), ma solo di ideali primari. Quindi, come si conclude? (a dire il vero l'impressione e' che stia facendo un giro lunghissimo per dire qualcosa di semplice). Forse esiste una specie di teorema dei divisori elementari per moduli su anelli noetheriani (io l'ho visto solo per PID)?
Poco sotto, Fulton definisce la lunghezza di un ideale come la lunghezza di una catena in cui i $\mathfrak{p}$ sono ideali massimali. D'altra parte, nella definizione di Wikipedia (Length of a module), non si fa riferimento a niente di tutto questo, e si definisce la lunghezza di un modulo semplicemente come la massima lunghezza di una sua catena, pero' mi sembra ragionevole che le due definizioni siano equivalenti (se i fattori sono campi, posso infilarci nel mezzo altri ideali e allungare la catena).
Comunque, Fulton dice che un modulo ha lunghezza finita se e solo se le localizzazioni $M_{\mathfrak{p}}$ sono non nulle solo per un numero finito di ideali primi di $A$, che sono massimali. Per dimostrare questo si pue' fare cosi'? Supponiamo $\mathfrak{p_j}$ siano infiniti ideali primi tali che i localizzati $M_{\mathfrak{p}}$ sono non nulli. Allora per ogni $x \in \mathfrak{p_j}, x\ne 0$ si ha $xM \ne 0$. Ma allora $\mathfrak{p_k...p_1}M$ per ogni $k$ definisce una catena infinita. Devo lavorare sul fatto che a un certo punto $\mathfrak{p_k...p_1}$ non diventi zero per conto suo, pero' l'idea puo' essere questa?
Sia $A$ un anello commutative, noetheriano e con unita' e $M$ un $A$-modulo finitamente generato. Si da' per scontato che esiste una catena di sottomoduli di $M$
\[ M=M_0 \supset M_1 \supset ...\supset M_r = 0\]
tali che i fattori $M_i / M_{i+1}$ sono isomorfi a quozienti $A/\mathfrak{p}$ con $\mathfrak{p}$ ideale primo di $A$. Costruire questa catena dovrebbe essere non troppo difficile, ma non riesco a concludere. Io farei cosi':
Siccome $M$ e' finitamente generato (diciamo da $r$ elementi), e' un quoziente di $A^r$, attraverso un certo omomorfismo $\phi$. Prendo tutte le proiezioni e quoziento sui nuclei di $\phi$. I fattori che trovo in questo modo sono della forma $A/I$ per certi ideali $I$. A questo punto vorrei applicare il teorema cinese dei resti, per spezzare $A/I$. Il problema e' che in generale $I$ non e' intersezione di ideali primi (e l'ipotesi di noetherianita' non basta per garantire cio'), ma solo di ideali primari. Quindi, come si conclude? (a dire il vero l'impressione e' che stia facendo un giro lunghissimo per dire qualcosa di semplice). Forse esiste una specie di teorema dei divisori elementari per moduli su anelli noetheriani (io l'ho visto solo per PID)?
Poco sotto, Fulton definisce la lunghezza di un ideale come la lunghezza di una catena in cui i $\mathfrak{p}$ sono ideali massimali. D'altra parte, nella definizione di Wikipedia (Length of a module), non si fa riferimento a niente di tutto questo, e si definisce la lunghezza di un modulo semplicemente come la massima lunghezza di una sua catena, pero' mi sembra ragionevole che le due definizioni siano equivalenti (se i fattori sono campi, posso infilarci nel mezzo altri ideali e allungare la catena).
Comunque, Fulton dice che un modulo ha lunghezza finita se e solo se le localizzazioni $M_{\mathfrak{p}}$ sono non nulle solo per un numero finito di ideali primi di $A$, che sono massimali. Per dimostrare questo si pue' fare cosi'? Supponiamo $\mathfrak{p_j}$ siano infiniti ideali primi tali che i localizzati $M_{\mathfrak{p}}$ sono non nulli. Allora per ogni $x \in \mathfrak{p_j}, x\ne 0$ si ha $xM \ne 0$. Ma allora $\mathfrak{p_k...p_1}M$ per ogni $k$ definisce una catena infinita. Devo lavorare sul fatto che a un certo punto $\mathfrak{p_k...p_1}$ non diventi zero per conto suo, pero' l'idea puo' essere questa?
Risposte
"Pappappero":Beh... qualsiasi libro di testo di Fulton non è di facile lettura!
Quello che scrivo ha come principale riferimento Intersection Theory di Fulton, Appendice A...
"Pappappero":Sotto quest'ipotesi hai che \(M\) è un \(A\)-modulo noetheriano; ... (ho scritto una boiata, poi rimossa)
...Sia $A$ un anello commutative, noetheriano e con unita' e $M$ un $A$-modulo finitamente generato. Si da' per scontato che esiste una catena di sottomoduli di $M$
\[ M=M_0 \supset M_1 \supset ...\supset M_r = 0\]
tali che i fattori $M_i / M_{i+1}$ sono isomorfi a quozienti $A/\mathfrak{p}$ con $\mathfrak{p}$ ideale primo di $A$...
"Pappappero":Non ricordo il nome esatto, ma una qualsiasi catena di ideali primi può essere saturata; nel caso di anelli noetheriani ciò equivale ad affermare l'esistenza delle catene massimali ascendeti di ideali primi!
...Fulton definisce la lunghezza di un ideale come la lunghezza di una catena in cui i $ \mathfrak{p} $ sono ideali massimali...
La dimostrazione di questo teorema la trovi sul libro di Kaplansky Commutative rings.
L'ultima parte non è altri che una proprietà locale dei moduli, e io con questa robaccia ci vado poco d'accordo... un libro in cui trovi diverse proprietà locali di moduli (ed anche di anelli) è il classico Atiyah-Mac Donald Introduction to commutative algebra. Magari esercitandoti riesci a sbrogliare la cosa...
Concordo che sotto quell'ipotesi $M$ è noetheriano. Ma comunque non capisco come passare dalla catena in cui i fattori sono $A/I$ con ideali qualsiasi a quella con ideali primi.
Mi vado a guardare se trovo qualcosa su Atiyah-MacDonald.
Mi vado a guardare se trovo qualcosa su Atiyah-MacDonald.
Novità?
Non so il perché ma mi vengono sempre in mente gli annullatori... solo che in questo periodo do sto incasinato di mio
e non riesco a dedicarci molto alla questione, interessante di suo!
Non so il perché ma mi vengono sempre in mente gli annullatori... solo che in questo periodo do sto incasinato di mio
e non riesco a dedicarci molto alla questione, interessante di suo!
Ci provo, ma sia chiaro che non mi assumo alcuna responsabilità su ciò che sto per scrivere, quindi prendete tutto con le pinze. 
Sia $\{m_1, \cdots, m_n\}$ un insieme di generatori per $M$ come $A$-modulo.
Definisco $M_i = Am_1 + \cdots + Am_i$, con $i =1, \cdots, n$, $M_0=0$ ed ottengo la catena di sottomoduli di $M$
\[ M= M_n \ge M_{n-1} \ge \cdots \ge M_{i+1} \ge M_i \ge \cdots \ge M_1 \ge M_0 = 0 .
\]
Naturalmente, non si ha alcuna garanzia del fatto che $M_i$ sia massimale in $M_{i+1}$ anzi, ciò potrebbe benissimo essere falso, se $A$ non è un campo. Supponiamo che sia falso e raffiniamo "passo dopo passo" la sequenza:
\[ M_{i+1} \ge M_{i, 1} \ge M_{i, 2} \ge M_{i, 3} \ge \cdots \ge M_{i+1}.
\]
Grazie all'ipotesi di Noetherianità dell'anello $A$, dopo un certo numero di passi bisogna fermarsi.
Sono più che consapevole del fatto che non ho espresso questo passaggio in modo formale (se qualcuno volesse farlo sarebbe il benvenuto ): probabilmente serve l'induzione transfinita comunque il succo, secondo me, è che devo fermarmi dopo un numero finito di passi perché un modulo finitamente generato su un anello Noetheriano è a sua volta Noetheriano.
Raffinando il tutto si ottiene, quindi, una catena di sottomoduli del tipo
\[ M= N_t \ge N_{n-1} \ge \cdots \ge N_{i+1} \ge N_i \ge \cdots \ge N_1 \ge N_0 = 0
\]
dove ogni $N_i$ è massimale in $N_{i+1}$ cioè $N_i /N_{i+1}$ è un $A$-modulo semplice.
Considero l'applicazione \( \psi \colon A \to N_i /N_{i+1} \) tale che $\psi(a) = az$ dove $ z \in N_i /N_{i+1}$.
Allora \[ A/ R \cong N_i /N_{i+1}
\]
dove $R$ è l'annullatore di $z$ in $A$ quindi un ideale bilatero ($A$ è commutativo) di $A$.
Poiché $N_i /N_{i+1}$ è un $A$-modulo semplice, allora anche $A/R$ è un $A$-modulo semplice cioè un anello semplice ($A$ è commutativo) perciò $R$ è massimale in $A$ quindi primo.
Secondo me se i $\mathfrak{p}$ sono ideali massimali la catena non può essere ulteriormente raffinata, più o meno come ho spiegato sopra.
"Pappappero":
Quello che scrivo ha come principale riferimento Intersection Theory di Fulton, Appendice A.
Sia $A$ un anello commutative, noetheriano e con unita' e $M$ un $A$-modulo finitamente generato. Si da' per scontato che esiste una catena di sottomoduli di $M$
\[ M=M_0 \supset M_1 \supset ...\supset M_r = 0\]
tali che i fattori $M_i / M_{i+1}$ sono isomorfi a quozienti $A/\mathfrak{p}$ con $\mathfrak{p}$ ideale primo di $A$. Costruire questa catena dovrebbe essere non troppo difficile, ma non riesco a concludere.
Sia $\{m_1, \cdots, m_n\}$ un insieme di generatori per $M$ come $A$-modulo.
Definisco $M_i = Am_1 + \cdots + Am_i$, con $i =1, \cdots, n$, $M_0=0$ ed ottengo la catena di sottomoduli di $M$
\[ M= M_n \ge M_{n-1} \ge \cdots \ge M_{i+1} \ge M_i \ge \cdots \ge M_1 \ge M_0 = 0 .
\]
Naturalmente, non si ha alcuna garanzia del fatto che $M_i$ sia massimale in $M_{i+1}$ anzi, ciò potrebbe benissimo essere falso, se $A$ non è un campo. Supponiamo che sia falso e raffiniamo "passo dopo passo" la sequenza:
\[ M_{i+1} \ge M_{i, 1} \ge M_{i, 2} \ge M_{i, 3} \ge \cdots \ge M_{i+1}.
\]
Grazie all'ipotesi di Noetherianità dell'anello $A$, dopo un certo numero di passi bisogna fermarsi.
Sono più che consapevole del fatto che non ho espresso questo passaggio in modo formale (se qualcuno volesse farlo sarebbe il benvenuto
): probabilmente serve l'induzione transfinita comunque il succo, secondo me, è che devo fermarmi dopo un numero finito di passi perché un modulo finitamente generato su un anello Noetheriano è a sua volta Noetheriano.Raffinando il tutto si ottiene, quindi, una catena di sottomoduli del tipo
\[ M= N_t \ge N_{n-1} \ge \cdots \ge N_{i+1} \ge N_i \ge \cdots \ge N_1 \ge N_0 = 0
\]
dove ogni $N_i$ è massimale in $N_{i+1}$ cioè $N_i /N_{i+1}$ è un $A$-modulo semplice.
Considero l'applicazione \( \psi \colon A \to N_i /N_{i+1} \) tale che $\psi(a) = az$ dove $ z \in N_i /N_{i+1}$.
Allora \[ A/ R \cong N_i /N_{i+1}
\]
dove $R$ è l'annullatore di $z$ in $A$ quindi un ideale bilatero ($A$ è commutativo) di $A$.
Poiché $N_i /N_{i+1}$ è un $A$-modulo semplice, allora anche $A/R$ è un $A$-modulo semplice cioè un anello semplice ($A$ è commutativo) perciò $R$ è massimale in $A$ quindi primo.
"Pappappero":
Poco sotto, Fulton definisce la lunghezza di un ideale come la lunghezza di una catena in cui i $\mathfrak{p}$ sono ideali massimali. D'altra parte, nella definizione di Wikipedia (Length of a module), non si fa riferimento a niente di tutto questo, e si definisce la lunghezza di un modulo semplicemente come la massima lunghezza di una sua catena, pero' mi sembra ragionevole che le due definizioni siano equivalenti (se i fattori sono campi, posso infilarci nel mezzo altri ideali e allungare la catena).
Secondo me se i $\mathfrak{p}$ sono ideali massimali la catena non può essere ulteriormente raffinata, più o meno come ho spiegato sopra.
Secondo me da qualche parte c'è qualcosa che non va, anche se l'argomento è molto convincente e non riesco a trovare falle. Un modulo semplice è un modulo che non ha sottomoduli non banali (quindi $0$ o tutto il modulo), giusto?
La noetherianità garantisce che raffinando la catena a un certo punto bisogna fermarsi; non credo serva induzione trasfinita; semplicemente se non ci si ferma si viola l'ipotesi di noetherianità.
Tuttavia, la statement originaria era con ideali primi, e non credo che valga con ideali massimali. L'unico punto che mi sembra debole nel tuo argomento, è la scelta di $z$ per definire $\psi$. Però in effetti credo che si possa assumere che il fattore sia $1$-generato, altrimenti (forse) si può raffinare ancora in maniera ovvia.
Non so bene. Alla fine ho preso la cosa per buona; non ho il cuore (né il tempo al momento, magari tra un mesetto sì) di mettermi a studiare cose complicate di algebra commutativa.
La noetherianità garantisce che raffinando la catena a un certo punto bisogna fermarsi; non credo serva induzione trasfinita; semplicemente se non ci si ferma si viola l'ipotesi di noetherianità.
Tuttavia, la statement originaria era con ideali primi, e non credo che valga con ideali massimali. L'unico punto che mi sembra debole nel tuo argomento, è la scelta di $z$ per definire $\psi$. Però in effetti credo che si possa assumere che il fattore sia $1$-generato, altrimenti (forse) si può raffinare ancora in maniera ovvia.
Non so bene. Alla fine ho preso la cosa per buona; non ho il cuore (né il tempo al momento, magari tra un mesetto sì) di mettermi a studiare cose complicate di algebra commutativa.
"Pappappero":
Un modulo semplice è un modulo che non ha sottomoduli non banali (quindi $0$ o tutto il modulo), giusto?
Giusto.
"Pappappero":
Tuttavia, la statement originaria era con ideali primi, e non credo che valga con ideali massimali.
Aspetta: quale statement? L'esistenza della sequenza? Gli ideali massimali sono anche primi e io ti ho esibito una sequenza di quel tipo (sempre se non ho commesso degli errori).
"Pappappero":
L'unico punto che mi sembra debole nel tuo argomento, è la scelta di $z$ per definire $\psi$.
Per ogni \(\displaystyle 0 \neq z \in N_i /N_{i+1} \) si ha \(\displaystyle Az = N_i /N_{i+1} \) per la semplicità di \(\displaystyle N_i /N_{i+1} \). A questo punto basta applicare il teorema fondamentale di omomorfismo.
"Pappappero":
Però in effetti credo che si possa assumere che il fattore sia $1$-generato, altrimenti (forse) si può raffinare ancora in maniera ovvia.
Non ti seguo.
Non basta la semplicità di \(\displaystyle N_i /N_{i+1} \) per concludere che la \(\displaystyle \psi \) è suriettiva?
"Pappappero":
Non so bene. Alla fine ho preso la cosa per buona; non ho il cuore (né il tempo al momento, magari tra un mesetto sì) di mettermi a studiare cose complicate di algebra commutativa.
Sei tu che hai chiesto aiuto: io ho solo risposto!
"Leonardo89":
[quote="Pappappero"]Tuttavia, la statement originaria era con ideali primi, e non credo che valga con ideali massimali.
Aspetta: quale statement? L'esistenza della sequenza? Gli ideali massimali sono anche primi e io ti ho esibito una sequenza di quel tipo (sempre se non ho commesso degli errori).
[/quote]
Appunto. La statement che tu hai dimostrato, è più forte di quella da me proposta. Così a occhio direi molto più forte. In generale, sebbene non riesca a vedere falle nell'argomento, non credo che sia vero che, dato un anello noetheriano $A$, un $A$-modulo finitamente generato ha una sequenza con fattori isomorfi (come moduli) a $A/\mathfrak{m_i}$ per certi ideali massimali. Se è vero ben venga, ma non l'ho trovato scritto da nessuna parte. Dove ho trovato scritto qualcosa, ci si limita a dire che l'enunciato vale con ideali primi. Ma magari funziona.
"Leonardo89":
[quote="Pappappero"]L'unico punto che mi sembra debole nel tuo argomento, è la scelta di $z$ per definire $\psi$.
Per ogni \(\displaystyle 0 \neq z \in N_i /N_{i+1} \) si ha \(\displaystyle Az = N_i /N_{i+1} \) per la semplicità di \(\displaystyle N_i /N_{i+1} \). A questo punto basta applicare il teorema fondamentale di omomorfismo.
"Pappappero":
Però in effetti credo che si possa assumere che il fattore sia $1$-generato, altrimenti (forse) si può raffinare ancora in maniera ovvia.
Non ti seguo.
Non basta la semplicità di \(\displaystyle N_i /N_{i+1} \) per concludere che la \(\displaystyle \psi \) è suriettiva?
[/quote]
Abbiamo detto la stessa cosa. Anche secondo me la $\psi$ è suriettiva.
"Pappappero":
Appunto. La statement che tu hai dimostrato, è più forte di quella da me proposta. Così a occhio direi molto più forte. In generale, sebbene non riesca a vedere falle nell'argomento, non credo che sia vero che, dato un anello noetheriano $A$, un $A$-modulo finitamente generato ha una sequenza con fattori isomorfi (come moduli) a $A/\mathfrak{m_i}$ per certi ideali massimali. Se è vero ben venga, ma non l'ho trovato scritto da nessuna parte. Dove ho trovato scritto qualcosa, ci si limita a dire che l'enunciato vale con ideali primi. Ma magari funziona.
No, non funziona, sono stato un ingenuo: prova a dare un'occhiata qui e qui.
Il problema nella mia dimostrazione dovrebbe sorgere quando raffino la catena: parlando non formalmente, se raffino la catena verso il basso nessuno mi garantisce che debba fermarmi, a meno che non abbia anche l'Artinianità.
Se, infatti, l'anello $A$ fosse Artiniano la mia dimostrazione dovrebbe funzionare.
Con $A$ solo Noetheriano il problema resta aperto.
Che bello avere come controesempio $\ZZ$ e non accorgersene. -.-'''
Nella dimostrazione uso il lemma che dice che per un anello Noetheriano
ogni $R$-modulo $M!=0$ contiene un elemento $x$ con $\text{Ann}_R(x)$ primo.
Per vedere questo, si considera la collezione, ordinata per inclusione, di
ideali di $R$ che sono annulatori di qualche elemento non nullo di $M$
e si fa vedere che un elemento massimale e' necessariamente primo.
Il sottomodulo generato da $x$ e' quindi isomorfo a $R$/$\mathfrak p$ con $\mathfrak p=\text{Ann}_R(x)$ primo.
Sia $R$ un anello Noetheriano e sia $M!=0$ un $R$-modulo finitamente generato.
Per dimostrare l'affermazione nell'appendice A del libro di Fulton
consideriamo la collezione $\Omega$, ordinata per inclusione, dei sottomoduli di $M$
che hanno la proprieta' richiesta. Per il lemma $\Omega$ non e' vuota.
Sia $M'$ un elemento massimale di $\Omega$. Allora si ha che $M'=M$.
Infatti, se $M'!=M$, il lemma ci garantisce l'esistenza di un elemento $x\in M-M'$
tale che $(Rx+M')$/$M'\cong R$/$\mathfrak p$ per qualche ideale primo $\mathfrak p$ di $R$.
E questo contraddice la massimalita' di $M'$.
Si veda questo capitolo http://people.fas.harvard.edu/~amathew/chnoetherian.pdf
del CRing Project: http://people.fas.harvard.edu/~amathew/cr.html
ogni $R$-modulo $M!=0$ contiene un elemento $x$ con $\text{Ann}_R(x)$ primo.
Per vedere questo, si considera la collezione, ordinata per inclusione, di
ideali di $R$ che sono annulatori di qualche elemento non nullo di $M$
e si fa vedere che un elemento massimale e' necessariamente primo.
Il sottomodulo generato da $x$ e' quindi isomorfo a $R$/$\mathfrak p$ con $\mathfrak p=\text{Ann}_R(x)$ primo.
Sia $R$ un anello Noetheriano e sia $M!=0$ un $R$-modulo finitamente generato.
Per dimostrare l'affermazione nell'appendice A del libro di Fulton
consideriamo la collezione $\Omega$, ordinata per inclusione, dei sottomoduli di $M$
che hanno la proprieta' richiesta. Per il lemma $\Omega$ non e' vuota.
Sia $M'$ un elemento massimale di $\Omega$. Allora si ha che $M'=M$.
Infatti, se $M'!=M$, il lemma ci garantisce l'esistenza di un elemento $x\in M-M'$
tale che $(Rx+M')$/$M'\cong R$/$\mathfrak p$ per qualche ideale primo $\mathfrak p$ di $R$.
E questo contraddice la massimalita' di $M'$.
Si veda questo capitolo http://people.fas.harvard.edu/~amathew/chnoetherian.pdf
del CRing Project: http://people.fas.harvard.edu/~amathew/cr.html
Grazie delle referenza, Stickelberger.
L'argomento è strettamente collegato alla decomposizione primaria di moduli. Un buon riferimento è il secondo capitolo di queste note, ma anche il libro di Altman e Kleiman Introduction to Grothendieck duality (non ricordo il capitolo con esattezza).
Per quanto riguarda la proprietà in sé, è dimostrata anche in Liu, Algebraic geometry and arithmetic curves, Lemma 7.1.4.
@Pappappero: complimenti, se stai leggendo Intersection Theory. Io ce l'ho qui sulla mia scrivania ma adesso proprio non ho tempo. E' stato rimandato al prossimo anno (il primo anno di dottorato, se dio vuole).
Per quanto riguarda la proprietà in sé, è dimostrata anche in Liu, Algebraic geometry and arithmetic curves, Lemma 7.1.4.
@Pappappero: complimenti, se stai leggendo Intersection Theory. Io ce l'ho qui sulla mia scrivania ma adesso proprio non ho tempo. E' stato rimandato al prossimo anno (il primo anno di dottorato, se dio vuole).
Bentornato, maurer!
@Pappappero e Stickelberger Almeno avevo ragione sugli annullatori.
@Maurer Ben tornato (qui)! Non conoscevo quella sezione del T.I.F.R.: grazie per avermela fatta scoprire; mi sarà molto utile!
@Maurer Ben tornato (qui)! Non conoscevo quella sezione del T.I.F.R.: grazie per avermela fatta scoprire; mi sarà molto utile!
Grazie a tutti per i contributi.
Il testo di Fulton in effetti è molto ostico. Voglio dire: è fatto bene, ma assume un profondo background in algebra commutativa e toria degli schemi (e l'altro testo "Introduction to Intersection Theory in Algebraic Geometry", sempre di Fulton, anche se ricco di esempi, non è da meno).
Ho trovato una bozza (neanche tanto bozza in realtà) di un libro di Eisenbud e Harris "3264 and all that intersection theory in algebraic geometry", che parte da più indietro e dà per scontate molte meno cose. Sono andato avanti seguendo in parallelo questo e il Fulton e mi si sta a poco a poco aprendo un mondo.
Il testo di Fulton in effetti è molto ostico. Voglio dire: è fatto bene, ma assume un profondo background in algebra commutativa e toria degli schemi (e l'altro testo "Introduction to Intersection Theory in Algebraic Geometry", sempre di Fulton, anche se ricco di esempi, non è da meno).
Ho trovato una bozza (neanche tanto bozza in realtà) di un libro di Eisenbud e Harris "3264 and all that intersection theory in algebraic geometry", che parte da più indietro e dà per scontate molte meno cose. Sono andato avanti seguendo in parallelo questo e il Fulton e mi si sta a poco a poco aprendo un mondo.
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