L'insieme $HK$ e il suo ordine.

[Kashaman]

seguendo i buon consigli di perplesso e j , sono andato a studiarmi un po di teoria.
In particolare sono incappato nei seguenti risultati.
Voglio capire se ho capito.
definizione
supponiamo d'avere $G$ un gruppo e $H$ e $K$ un sottogruppi di $G$.
si definisce $HK= { x in G | x= hk , h in H , k in K}$
condizione necessaria e sufficiente affinché $HK$ sia un sottogruppo di $G$
in generale non è detto che $HK$ è un sottogruppo di $G$.
controesempio.
prendiamo $\sigma=(1,2)$ e $tau=(1,2,3)$ e $H=<(1,2)>$ e $K=(2,3)$
e consideriamo $HK={ \sigma in S_13 | \sigma=\alpha\beta , \alpha in H ^^ \beta in K} = {(1,2),(2,3),(1,2,3) , (1,3)}$ tale insieme si vede facilmente che non è un gruppo. manca l'identità e per esempio $(1,2,3)$ non ha inverso.
teorema
Sia $G$ un gruppo . $H,K < G$
$HK HK=KH$
dimostriamolo
Supponiamo che $HK=KH$ quindi per qualche $b in H , b_1 in H , k in K , k_1 in H$ si ha che
$hk=h_1k_1$ (teniamolo a mente)
Ciò che voglio fare è dimostrare che $HK=KH$ è un sottogruppo.
Verifichiamo la chiusura.
Supponiamo di avere $x=hk in HK$ e $y=h_1k_1 in HK$ si ha che
si ha che $xy= hkh_1k_1=(hh_1)(kk_1) in HK$ visto che $hh_1 in H ^^ kk_1 in K$
sia ora $x= hk in HK$
ora visto che $h^(-1) in H ^^ k^(-1) in K$ si ha che $h^(-1)*k^(-1)=k^(-1)h^(-1)=(hk)^(-1)=(kh)^(-1)=x^-1 in HK = KH$
ciò prova che $HK=KH$ è un sottogruppo.
Supponiamo ora che $HK$ è un sottogruppo e dimostriamo che $HK=KH$.
Devo in sostanza mostrare la doppia inclusione.
Si ha che $AA hk in HK : h^(-1)*k^(-1) in HK => (h^(-1)*k^(-1))^-1 in HK$ ed essendo
$(h^(-1)*h^(-1))^(-1)=hk in KH$ ciò prova che $HK sube KH$
Analogamente se $x in HK $ poniamo $x^(-1)=bk in HK$
si ha che $x=x^-1=(bk)^-1=k^(-1)h^(-1) in KH$ ciò prova che $KH sube HK$.

è tutto giusto finora?

[j18eos]

"Kashaman":seguendo i buon consigli di perplesso e j...

Il primo lo conosco e lo ammiro, il secondo non lo conosco e [size=150]non[/size] vorrei ammirarlo.

"Kashaman":...controesempio.
prendiamo $\sigma=(1,2)$ e $tau=(1,2,3)$ e $H=<(1,2)>$ e $K=(2,3)$
e consideriamo $HK={ \sigma in S_13 | \sigma=\alpha\beta , \alpha in H ^^ \beta in K} = {(1,2),(2,3),(1,2,3) , (1,3)}$...

Attenzione!

Per quanto riguarda il teorema, mettiti d'accordo sulle notazioni.

[Kashaman]

Ripartiamo dall'inizio.
Definizione $G$ un gruppo
siano $H$ , $K$ sottogruppi di $G$ si definisce
$HK= { x in G | x=hk , h in H , k in K}$

non sempre $HK$ è un sottogruppo di $G$
costruiamo un esempio.
----
considero $G=S_4$ , $H={id, (1,2)}$ $K={id, (2,3)}$ sottogruppi
quindi $HK={id, (1,2),(2,3),(1,2,3)}$
quindi $HK$ non può essere un sottogruppo di $G$ infatti, l'elemento $(1,2,3)$ non ha inverso in $HK$
più in particolare non è chiuso , infatti $(1,2,3)^2=(1,3,2)$ non appartiene ad $HK$.
si può notare che per le stesse ragioni $KH= {id , (1,2),(2,3),(1,3,2)$ non è un sottogruppo di G.
tuttavia se prendiamo $H={ id , (1,2)} $ e $K={(3,4) , id }$
notiamo che $HK = { x in S_4 | x=\alpha\beta , \alpha in H , \beta in K} ={ id, (1,2), (3,4) , (1,2)(3,4)} = KH $ ed è un sottogruppo di ordine quattro .

---
Dalle osservazioni fatte , si può trarre un risultato generale.
Teorema (lemma 2.5.1 pagina 47 - H)
Se $H$ e $K$ sono due sottogruppi di un gruppo $G$ .
$HK$ è un sottogruppo di $G$ se e solo se $HK=KH$.
dim teorema
supponiamo che $HK=KH$ e dimostriamo che $HK$ è un sottogruppo di $G$.
Ci basta verificare quanto segue :
a) $HK$ chiuso rispetto al prodotto di $G$,
b) se $a in HK=KH => a^(-1) in HK=KH$
provo la a) Siano $h, h_1 in H$ e $k , k_1 in K$
considero $x=hk in HK$ e $y=h_1k_1 in HK$
si ha che $xy=hkh_1k_1$
ora l'elemento $kh_1 in KH$ e per ipotesi $HK=KH$ pertanto esistono $h' in H , k' in K$ tali che $kh_1=h'k'$
pertanto $xy=h(h'k')k=(hh')(k'k) in HK$ pertanto $HK$ è chiuso rispetto al prodotto di $G$. Prova a).
domanda 1 :

Ho capito , credo, che Herstein per dimostrarne la chiusura, ha considerato due elementi generici $x,y in HK$ e li ha "moltiplicati" avendo che $xy=hkh_1k$. Se $G$ fosse abeliano, allora commuterebbe anche il prodotto in $HK$ e quindi avrebbe potuto dire che $xy=hkh_1k=hh_1kk_1$ e quindi , la chiusura sarebbe venuta da se. ma in generale non è vero se $G$ non è abeliano e quindi ha usato l'ipotesi che $HK=KH$ e quindi per qualche
$h^* in H , k^* in K$ si ha che $kh_1=h^*k^*$ e da li sfruttando la proprietà associativa, ha concluso, giusto?

provo la b)
$x^(-1) = (hk)^-1 = k^-1h^-1 in KH$ ma essendo $KH = HK$ si ha che $(hk) ^(-1) in HK$. da a e b segue che $HK $ è un sottogruppo.
domanda 2

cosa mi autorizza a scrivere queste catene di uguaglianze?
$x^(-1) = (hk)^-1 = k^-1h^-1 in KH$

seconda parte dimostrazione .
Supponiamo che $HK$ è un sottogruppo di $G$ e dimostriamo che $HK=KH$. (ossia HK sube KH ^^ KH sube HK).
Allora $ AA h in H e k in K$ essendo $HK$ un sottogruppo segue che $h^(-1)k^(-1) in HK$, ma si nota che
$(h^(-1)k^(-1))^-1 = kh in HK$ e quindi si dimostra l'inclusione che $KH sube HK$.
domanda 3

qui praticamente si è sfruttato il fatto che l'inverso di quel prodotto ti da un elemento del tipo $kh$ ( ha senso parlare di inverso, perché per ipotesi $HK$ è un sottogruppo.) che risulta appartenere a $HK$. e data la generalità di $k^^h$ segue che $HK$ contiene tutti gli elementi del tipo $kh$ e quindi $KHsubeHK$ giusto?

Ora consideriamo $x in HK$ e poniamo $x^(-1)=hk in HK$
allora $x= (x^(-1))^-1 = (hk)^-1=k^(-1)h^(-1) in KH$ quindi data la generalità di $x$ si mostra che $HK sube KH$
e quindi vale che $HK=KH$.

tutto giusto?
grazie

[Kashaman]

il teorema 2.5.1 pag 47
enuncia che

se $H$ e $K$ sono sottogruppi di $G$ con ordine rispettivamente $o(H)$ e $o(K)$ allora
$o(HK) = (o(H)o(K))/(o(H nn K))$

------- esaminerei prima il caso particolare per vedere se ho capito (seguendo le false righe dell'H
Allora, se $H nn K = {e} => o(H nn K) =1$ e quindi $o(HK)=o(H)o(K)$ (quello che dobbiamo dimostrare.)
domanda 4

cioè in poche parole , se $H n K = {e}$ l'insieme $HK$ ha ordine il prodotto degli ordini. questo deriva dal fatto che se prendo $hk in HK$ , $h in H$ e quindi posso sceglierlo in $o(H)$ modi , $k in K$ e posso sceglierlo in $o(K)$ modi. quindi in totale posso avere $o(H)*o(K)$ elementi del tipo $hk$ , giusto? e il fatto che gli elementi non si ripetono stà del fatto che l'intersezione è banale e quindi $h$ e $k$ vengono scelti solo una volta, giusto?

Allora in questo caso particolare ci prefiggiamo di elencare e contare tutti gli $hk$ elementi di $HK$.
Quello che dobbiamo mostrare è che non vi sono ripetizioni.
Supponiamo per assurdo che esistano $h , h_1 in H$ , $h!=h_1$ tali che $hk=h_1k_1 => hh_1^(-1)=k_1k^(-1)$
ora $hh_1^(-1) in H$ e $k_1k^(-1) in K$ ma poiché $hh_1^(-1)=k_1k^(-1)$ si ha che $hh_1^(-1) in H nn K$ .
Ma l'intersezione è banale quindi deve essere che $hh_1^(-1)=e => h=h_1$ contro l'ipotesi. Quindi si dimostra che essendo $H nn K$ banale non si hanno ripetizioni. e quindi vale la formula $o(HK)=o(H)o(K)$


giusto fin qui?

[j18eos]

Mi fermo alla domanda 1, se ho capito bene anche il codice errato (correggi) hai capito!

[Kashaman]

sono una frana a scrivere xD grazie j

[j18eos]

La dimostrazione del punto (b) non è errata ma è esposta male: sia \(x\in HK\) allora \(x=hk\) ove \(h\in H;k\in K\); allora: \(x^{-1}=(hk)^{-1}=k^{-1}h^{-1}\in KH\subseteq G\) ma per le ipotesi \(HK=KH\) quindi \(x^{-1}\in HK\).

Credo di aver risposto così anche alla domanda 2!

La secondo parte della dimostrazione è da aggiustare nel codice e la domanda 3 mi sembra un'inutile contorsione su se stessa di un fatto banalmente comprensibile!

L'ultima parte si ricava mutatis mutandis dalla dimostrazione della precedente inclusione!

Dato che ho fame, scrivo che la domanda 4 mi sembra esposta malissimo; ma questa è un'altra storia...