Limiti ed oggetti iniziali

[perplesso1]

Sia $\mathcal A$ una categoria. Sono equivalenti le affermazioni:

a) $\mathcal A$ possiede un oggetto iniziale $0$
b) Il funtore identico $id_\mathcal{A}: \mathcal {A -> A}$ ammette limite
c) ogni funtore $F: \mathcal {A -> C}$ ammette limite

Mi blocco subito sull'implicazione a) $=>$ b) tutto quello che riesco a dire è che detto $!_A : 0 -> A$ l'unico morfismo fra $0$ ed un oggetto $A \in Ob(\mathcal{A})$ allora $(0, !_A)_{A \in Ob(A)}$ è un cono sul funtore identico $id_\mathcal{A}$. Domanda: questo cono ha la proprietà universale ?? Boh... analogamente per a) $= >$ c) posso affermare che $(F(0),F(!_A))_{A \in Ob(A)}$ è un cono su $F$, ma anche qui dovrei dimostrare che ogni altro cono su $F$ fattorizza attraverso $F(0)$, ma è vero? non lo so... Grazie in anticipo.

[j18eos]

Certo che è un cono, basta notare che l'identità \(1_A\) è così esprimibile in diagramma a frecce:\[1_A:A\to A\] sic et simpliciter per l'altro cono!

[perplesso1]

Scusa allora mi sono spiegato male, lo so che \( (0, !_A)_{A \in Ob(\mathcal A)} \) è un cono su \( id_\mathcal{A} \). Ma è vero che ogni altro cono su $id_\mathcal{A}$ fattorizza attraverso $0$? Cioè che dato un altro cono $(B,p_A)_{A \in Ob(A)}$ esiste un morfismo $u: B -> 0$ tale che $!_A \circ u = p_A$ per ogni oggetto $A \in Ob(\mathcal A)$ ? non riesco a vedere l'evidenza di questa affermazione.

[perplesso1]

Ah adesso ho capito! Se $B$ è un cono allora esiste una freccia $p_0: B -> 0$ ed abbiamo $!_A circ p_0 = p_A$ quindi basta porre $u = p_0$ xD Ok ci sono, se me lo confermate però è meglio! grazie.

[j18eos]

Mi pare che tutto fili, ma non ne sono convinto. -_-

Sarà che gli oggetti iniziali (e finali) in una categoria li ho incontrati ed usati (al momento) da meno di una settimana!

[perplesso1]

"j18eos":Mi pare che tutto fili, ma non ne sono convinto

Ad essere pignoli bisognerebbe mostrare che $p_0$ è l'unico morfismo con quella proprietà, ma è facile perchè se $t:B -> 0$ è un altro morfismo tale che $!_A \circ t = p_A$ allora in particolare $p_0 = !_0 \circ t = id_0 \circ t = t$

"j18eos":Sarà che gli oggetti iniziali (e finali) in una categoria li ho incontrati ed usati (al momento) da meno di una settimana!

Tutti gli esempi concreti di oggetti iniziali/finali/zero che ho visto stanno in http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/ pag 101 e seguenti. Da un mesetto circa sto sbariando anche su altri testi ma questo che ti ho linkato è il più ricco di esempi pratici.

[j18eos]

Grazie,

ma a parte che quei "gatti" già li conosco, ho studiato gli oggetti iniziali, terminali e nulli in funzione delle categorie (pre)additive ed abeliane da queste note di Schapira.

P.S.: Comunque mi ero imbragliato tra oggetti iniziali e nulli!

[perplesso1]

"j18eos":queste note di Schapira.

Non le conoscevo, aggiungo anche questo nella mia lista delle cose da leggere!

[j18eos]

A mio gusto, se non hai un buon background non sono leggère da lèggere!

Dato che ho scritto questo, ribadisco e sta volta in pubblico i miei ringraziamente all'utente killing_buddha che me le ha indicate.

[killing_buddha]

Ti consiglio di fare delle ipotesi sulla taglia di A...