Lemma utile gruppi
C'è questo lemma sui gruppi che ciclicamente entra ed esce dalla mia testa.
Lo posto qui in forma di esercizio, con la duplice utilità di fornire un riferimento al me del futuro e lasciare a chi vuole esercitarsi del materiale
.
LEMMA
Sia $G$ gruppo[nota]Non necessariamente finito, anche se poi il LEMMA lo uso praticamente solo nel caso finito.[/nota], $H
Più precisamente $j|[G]$ e $[G]|j!$.
Inoltre naturalmente $[G]| o(G)$ nel caso in cui $G$ ha ordine finito.
Hint:
Ovvero \( \forall \ \ K \lhd G \) tale che $K subset H$ vale che $K subset N$.
Per la stima dal basso dell'indice di $N$ in $G$ nel LEMMA può tornare utile[nota]Ma non indispensabile, per esempio si potrebbe usare l'osservazione in coda al LEMMA per quel punto.[/nota] il seguente:
lemma
Sia $G$ gruppo, $X$ insieme finito di cardinalità $n$, \( \alpha : G \rightarrow \mathfrak{S}(X) \) un'azione transitiva.
Allora \( n \ \ | \ \ o(\alpha(G)) \) e quindi \( n \ \ | \ \ o(G/ \ker \alpha) = [ G : \ker \alpha ] \).
Hint:
applicazioni
1.Ogni sottogruppo di indice $2$ è normale (questo fatto ha anche dimostrazioni molto più semplici).
2.Sia $G$ gruppo finito, sia $p$ il più piccolo primo che divide $o(G)$.
Se $G$ ha un sottogruppo $H$ di indice $p$ allora $H$ è normale.
3.Sia $G$ gruppo finito $o(G)=p^s m$ con $(p,m)=1$.
Se $p>m$ allora il p-Sylow è normale. (Si poteva dire anche con i teoremi di Sylow)
4. Se $G$ è un gruppo finito semplice, allora ogni sottogruppo $H
esercizio
Determinare il minimo $n$ per cui $S_n$ ammette un sottogruppo di ordine $144$.
Hint:
Se qualcuno ha osservazioni/precisazioni/correzioni/generalizzazioni me lo faccia presente!
Anche perché sono andato un po' a braccio, non ho controllato tutti i passaggi.
Lo posto qui in forma di esercizio, con la duplice utilità di fornire un riferimento al me del futuro e lasciare a chi vuole esercitarsi del materiale
.LEMMA
Sia $G$ gruppo[nota]Non necessariamente finito, anche se poi il LEMMA lo uso praticamente solo nel caso finito.[/nota], $H
Più precisamente $j|[G]$ e $[G]|j!$.
Inoltre naturalmente $[G]| o(G)$ nel caso in cui $G$ ha ordine finito.
Hint:
Osservazione: la dimostrazione suggerita individua il sottogruppo $N$ che è il più grande tra i sottogruppi normali di $G$ contenuti in $H$.
Ovvero \( \forall \ \ K \lhd G \) tale che $K subset H$ vale che $K subset N$.
Per la stima dal basso dell'indice di $N$ in $G$ nel LEMMA può tornare utile[nota]Ma non indispensabile, per esempio si potrebbe usare l'osservazione in coda al LEMMA per quel punto.[/nota] il seguente:
lemma
Sia $G$ gruppo, $X$ insieme finito di cardinalità $n$, \( \alpha : G \rightarrow \mathfrak{S}(X) \) un'azione transitiva.
Allora \( n \ \ | \ \ o(\alpha(G)) \) e quindi \( n \ \ | \ \ o(G/ \ker \alpha) = [ G : \ker \alpha ] \).
Hint:
applicazioni
1.Ogni sottogruppo di indice $2$ è normale (questo fatto ha anche dimostrazioni molto più semplici).
2.Sia $G$ gruppo finito, sia $p$ il più piccolo primo che divide $o(G)$.
Se $G$ ha un sottogruppo $H$ di indice $p$ allora $H$ è normale.
3.Sia $G$ gruppo finito $o(G)=p^s m$ con $(p,m)=1$.
Se $p>m$ allora il p-Sylow è normale. (Si poteva dire anche con i teoremi di Sylow)
4. Se $G$ è un gruppo finito semplice, allora ogni sottogruppo $H
esercizio
Determinare il minimo $n$ per cui $S_n$ ammette un sottogruppo di ordine $144$.
Hint:
Se qualcuno ha osservazioni/precisazioni/correzioni/generalizzazioni me lo faccia presente!
Anche perché sono andato un po' a braccio, non ho controllato tutti i passaggi.
Risposte
\(G\) agisce naturalmente a sinistra sull'insieme dei laterali sinistri \(\{xH\mid x\in G\}\), e il gruppo delle permutazioni di \(G/H\) ha cardinalità \(j!\), dove \(j = [G]\).
Otteniamo allora un omomorfismo di gruppi \(\rho : G \to \mathfrak S(G/H)\).
Il suo nucleo è \(N=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}\) (proof e caratterizzazione come nocciolo (?) normale di \(H\)), e questo sottogruppo ha indice
\[
[G]=[G]\cdot [H] = j\cdot [H]
\]Questo dimostra uno dei due claim.
Resta da vedere che \([G]\) divide \(j!\); del resto \(N\) è normale, e l'omomorfismo \(\rho : G/N \to \mathfrak S(G/H)\) è iniettivo; l'immagine, allora, deve essere un sottogruppo di \(\mathfrak S(G/H)\), e per il teorema di Lagrangia il suo ordine deve dividere \(\#\mathfrak S(G/H)=j!\)
Otteniamo allora un omomorfismo di gruppi \(\rho : G \to \mathfrak S(G/H)\).
Il suo nucleo è \(N=\bigcap_{g\in G}gHg^{-1}\) (proof e caratterizzazione come nocciolo (?) normale di \(H\)), e questo sottogruppo ha indice
\[
[G]=[G]\cdot [H] = j\cdot [H]
\]Questo dimostra uno dei due claim.
Resta da vedere che \([G]\) divide \(j!\); del resto \(N\) è normale, e l'omomorfismo \(\rho : G/N \to \mathfrak S(G/H)\) è iniettivo; l'immagine, allora, deve essere un sottogruppo di \(\mathfrak S(G/H)\), e per il teorema di Lagrangia il suo ordine deve dividere \(\#\mathfrak S(G/H)=j!\)
Yess 
[ot]Lagrangia mi è piaciuto
[/ot]
[ot]Lagrangia mi è piaciuto
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