Lemma di Zorn per insiemi totalmente ordinati.
Il Lemma di Zorn, almeno nella versione a me nota, recita così:
Lemma di Zorn. Sia $(X,\leq)$ un insieme parzialmente ordinato. Se ogni sua catena ammette maggiornati, allora $X$ ammette massimali.
Mettiamo ora che invece di avere un insieme $(X,leq)$ parzialmente ordinato, io abbia un insieme $(S,leq)$ che sia totalmente ordinato. Il Lemma di Zorn continua a valere?
Io credo di sì perché un ordinamento totale è riflessivo, simmetrico e transitivo, ma un insieme è parzialmente ordinato se non è vero che $forall x,y in X, x leq y vee y leq x$, mentre è totalmente ordinato se $forall x,y in X, x leq y vee y leq x$ è vero: dunque con ordianemneto totale ho una cosa vera invece di falsa. Questo fatto altera la validità del lemma?
Lemma di Zorn. Sia $(X,\leq)$ un insieme parzialmente ordinato. Se ogni sua catena ammette maggiornati, allora $X$ ammette massimali.
Mettiamo ora che invece di avere un insieme $(X,leq)$ parzialmente ordinato, io abbia un insieme $(S,leq)$ che sia totalmente ordinato. Il Lemma di Zorn continua a valere?
Io credo di sì perché un ordinamento totale è riflessivo, simmetrico e transitivo, ma un insieme è parzialmente ordinato se non è vero che $forall x,y in X, x leq y vee y leq x$, mentre è totalmente ordinato se $forall x,y in X, x leq y vee y leq x$ è vero: dunque con ordianemneto totale ho una cosa vera invece di falsa. Questo fatto altera la validità del lemma?
Risposte
A me risulta che nel definire un ordine parziale non ci si esprima sulla totalità (quindi non è che non sia vera quella condizione, semplicemente potrebbe non esserlo). Quindi vale il lemma, ed è anche molto più semplice.
Ah ecco: quindi ho esagerato io. Grazie mille.
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