Lemma di Zorn, limiti, etc
Ciao a tutti, sono una studentessa di Filosofia alle prese con un esame di logica.
Ho concordato un programma un po' più complicato, quindi sto studiando come prerequisito la teoria intuitiva degli insiemi.
Il testo che sto usando è "Magnani-Gennari, Manuale di logica" che ha il pregio di essere difficile, per cui stimola molto la riflessione e consente una comprensione più approfondita; a volta tuttavia è per me un po' criptico. Ma io son ignorante. Sareste in grado di farmi capire la rilevanza di questo paragrafetto (Da "Sia A un sottoinsieme improprio di B...")?
Grazie e scusate in anticipo se si tratta di una richiesta inopportuna.
Ho concordato un programma un po' più complicato, quindi sto studiando come prerequisito la teoria intuitiva degli insiemi.
Il testo che sto usando è "Magnani-Gennari, Manuale di logica" che ha il pregio di essere difficile, per cui stimola molto la riflessione e consente una comprensione più approfondita; a volta tuttavia è per me un po' criptico. Ma io son ignorante. Sareste in grado di farmi capire la rilevanza di questo paragrafetto (Da "Sia A un sottoinsieme improprio di B...")?
Grazie e scusate in anticipo se si tratta di una richiesta inopportuna.
Risposte
Il lemma di Zorn anzitutto non è un lemma, ma un assioma (che è logicamente equivalente a un altro assioma molto importante, l'assioma della scelta). Non si può dimostrare, quindi, ma è particolarmente comodo quando sei in questa sitiazione: hai una teoria che si basa sul trovare un certo elemento massimale in un insieme ordinato, che funziona bene se l'insieme è finito, e che però non si applica automaticamente al caso di un insieme ordinato infinito. Allora cosa fai? Usi il lemma di Zorn, che permette di "trovare" lo stesso il tuo certo elemento massimale, a patto che il tuo insiemone sia induttivo (=ogni catena ha un massimale). Dico "trovare" perché non sai chi sia, sai solo che esiste. Questo non piace per niente a una frangia piuttosto estremista di matematici, che vuole che per ogni ente matematico vi sia un algoritmo che lo esibisce: unito al fatto che è indipendente, ossia che non si deduce, dagli altri postulati della teoria degli insiemi, questo lo ha reso un animale un po' esotico.
Riguardo la sua importanza, credo sia essenziale. È una pietra angolare dell'algebra, ad esempio.
Riguardo la sua importanza, credo sia essenziale. È una pietra angolare dell'algebra, ad esempio.
Grazie per la risposta, ho ancora dei problemi perché la mia domanda non era affatto chiara.
Non capisco perché il lemma (assioma) di Zorn sia logicamente equivalente alla funzione di scelta così come è espressa nel testo. La formulazione presentata da wikipedia è ancora un'altra: "Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento".
Mi è chiaro questo (da Zorn).
Ho un insieme parzialmente ordinato, se una catena di questo insieme ha un limite superiore allora l'insieme ha almeno un elemento massimale.
L'assioma della scelta, nel famoso esempio di Russell: per fare una scelta fra le numerose paia di calzini non posso prendere "tutti quelli destri", come farei per scegliere fra le scarpe, ma devo ricorrere all'assioma della scelta, nei cui termini considero l'insieme delle calze come il mio insieme parzialmente ordinato e le paia di calze come le catene dell'insieme. L'assioma di scelta mi consente di scegliere il primo di ogni paio, ossia il limite superiore di ogni catena / i massimali dell'insieme.
Nella formulazione dell'assioma di scelta presente nel testo, l'insieme ottenuto dall'applicazione è chiamato Ba (a pedice) e l'esistenza di una funzione di dominio A e di rango Ba (a pedice) è fondata sulla validità di un enunciato S(a,b) dove a appartiene ad A e b appartiene a Ba (a pedice).
In che senso l'assioma della scelta dice la stessa cosa dell'assioma di Zorn, usando i termini precedentemente utilizzati?
Non capisco perché il lemma (assioma) di Zorn sia logicamente equivalente alla funzione di scelta così come è espressa nel testo. La formulazione presentata da wikipedia è ancora un'altra: "Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento".
Mi è chiaro questo (da Zorn).
Ho un insieme parzialmente ordinato, se una catena di questo insieme ha un limite superiore allora l'insieme ha almeno un elemento massimale.
L'assioma della scelta, nel famoso esempio di Russell: per fare una scelta fra le numerose paia di calzini non posso prendere "tutti quelli destri", come farei per scegliere fra le scarpe, ma devo ricorrere all'assioma della scelta, nei cui termini considero l'insieme delle calze come il mio insieme parzialmente ordinato e le paia di calze come le catene dell'insieme. L'assioma di scelta mi consente di scegliere il primo di ogni paio, ossia il limite superiore di ogni catena / i massimali dell'insieme.
Nella formulazione dell'assioma di scelta presente nel testo, l'insieme ottenuto dall'applicazione è chiamato Ba (a pedice) e l'esistenza di una funzione di dominio A e di rango Ba (a pedice) è fondata sulla validità di un enunciato S(a,b) dove a appartiene ad A e b appartiene a Ba (a pedice).
In che senso l'assioma della scelta dice la stessa cosa dell'assioma di Zorn, usando i termini precedentemente utilizzati?
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