Leggi di De Morgan
Avrei bisogno di un anima gentile che mi aiuti a capire queste benedette leggi di De Morgan; in poche parole..Perchè per definizione si ha:
$(AuuB)^c = A^c nn B^c$
$(AnnB)^c = A^c uu B^c$
???
Grazie a tutti... Vi ci vorrà "molta pazienza"...
$(AuuB)^c = A^c nn B^c$
$(AnnB)^c = A^c uu B^c$
???
Grazie a tutti... Vi ci vorrà "molta pazienza"...
Risposte
prova a costruire una tabella di verità e vedi che tutto torna
"stellacometa2003":
Avrei bisogno di un anima gentile che mi aiuti a capire queste benedette leggi di De Morgan; in poche parole..Perchè per definizione si ha:
non è "per definizione"
segue dalle def di unione, intersezione e complementare
le leggi di De Morgan sono teoremi
"stellacometa2003":
Grazie a tutti... Vi ci vorrà "molta pazienza"...
che minaccia minacciosa
hehehe (minaccia, minacciosa).. La cosa che non capisco è perchè dall'unione si passa all'intersezione..
Sono graditi anche esempi grafici...
Sono graditi anche esempi grafici...
scusa se faccio il prof, ma devi farti tu dei semplici esempi!
prendi due insiemi $A,B$ contenuti entrambi, che so, in ${1,2,3,4,5,6,7,8}$ e guarda cosa ti viene.
prendi due insiemi $A,B$ contenuti entrambi, che so, in ${1,2,3,4,5,6,7,8}$ e guarda cosa ti viene.
Tranqui..anzi mi serve proprio qualcuno che faccia il prof..Cmq oggi grazie a una lezione di Matematica Discreta sono riuscita a capire visualizzando il perchè alla mia domanda..Ora però vi chiedo un'ultimo favorino: mi aiutereste in una dimostrazione generale, senza entrare in esempi nello specifico, in merito a tali leggi??
Grazie grazie grazie
Grazie grazie grazie
$x in (A cap B)^c iff x !in (A cap B) iff not(x in A ^^ x in B) iff x !in A vv x !in B iff x in (A^c cup B^c)$
Analogamente si mostra l'altra.
Poi coi diagrammi di Eulero-Venn è molto chiaro
Analogamente si mostra l'altra.
Poi coi diagrammi di Eulero-Venn è molto chiaro
"stellacometa2003":
$(AuuB)^c = A^c nn B^c$
Prendi tutti i calciatori che giocano in Italia, poi
$A$ sono i giocatori dell'Inter
$B$ quelli della nazionale
(i due insiemi non sono disgiunti, almeno quando Materazzi non è infortunato o squalificato
)Allora, considera i giocatori $(AuuB)$ che giocano nell'Inter o nella Nazionale, di sicuro, tutti gli altri ovvero
i giocatori che non giocano nell'Inter o nella nazionale $(AuuB)^c$
sono quelli
che non giocano ne con l'Inter e nemmeno con la Nazionale $(A^c nn B^c)$.
ciao
WOOOW...evviva il calcio eehhehe...Grazie a entrambi...Ho iniziato solo all'università a fare dimostrazioni e mi sento in alto mare...
Allora..la prof ce l'ha spiegato così...
$(A uu B)^c = A^c nn B^c =>x!in A uu B => x!in A, x !in B=> x in A^c, x in B^c => x in A^cnn B^c sub(AuuB)^c$
Ora mi chiedo..ma perchè $x in A^cnn B^c sub(AuuB)^c$ , quindi in pratica perchè si dice che è sottoinsieme??
Grazie a tutti
-------------------------------------
Admin: formulario di logica
$(A uu B)^c = A^c nn B^c =>x!in A uu B => x!in A, x !in B=> x in A^c, x in B^c => x in A^cnn B^c sub(AuuB)^c$
Ora mi chiedo..ma perchè $x in A^cnn B^c sub(AuuB)^c$ , quindi in pratica perchè si dice che è sottoinsieme??
Grazie a tutti
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Admin: formulario di logica
Qui si è dimostrato le leggi di De Morgan facendo appello alle leggi di De MOrgan per la logica (non so se si chiamano così, ma sono difatto uguali).. bisognerebbe anche giustificare queste..come diceva luca.barletta
Ciao,
per dimostrare che sono uguali basta dimostrare che uno è contenuto nell'altro e viceversa...però la catena di ragionamenti non va molto bene..parti da $x !inA, x!in B$, arrivi come hai fatto tu a dire che $A^cnnB^c sub (AuuB)^c$; poi parti da $x!in AuuB$ e arrivi a dimostrare l'inclusione opposta, così hai dimostrato l'uguaglianza.
per dimostrare che sono uguali basta dimostrare che uno è contenuto nell'altro e viceversa...però la catena di ragionamenti non va molto bene..parti da $x !inA, x!in B$, arrivi come hai fatto tu a dire che $A^cnnB^c sub (AuuB)^c$; poi parti da $x!in AuuB$ e arrivi a dimostrare l'inclusione opposta, così hai dimostrato l'uguaglianza.
Mi scuso se riprendo il post di un altro utente ma visto che è lo stesso argomento..
Bene per la legge $ (nn_alpha G_alpha)^c = uu(G_alpha^c) $ sto usando la dimostrazione formale che se uno è contenuto nell'altro e l'altro è contenuto nell'uno allora ho risolto.
Quindi:
(a) pongo $ omega in (nn_alpha G_alpha)^c $ $rarr$ $ omega notin nn_alpha G_alpha $ $rarr$ $ omega notin G_alpha AAalpha $ $rarr$ $ omega in G_alpha^c AAalpha $ $rarr$ $ omega in uu_alpha(G_alpha^c) $
Quindi $ (nn_alpha G_alpha)^c in uu(G_alpha^c) $
(b) pongo $ omega in uu_alpha(G_alpha^c) $ $rarr$ ....
Con lo stesso ragionamento dovrei arrivare a dimostrare che $ uu(G_alpha^c) in (nn_alpha G_alpha)^c $
Così avrei risolto.
Ma non riesco a continuare perchè secondo me la condizione a cui mi sono fermato non implica necessariamente qualcosa..
Non so datemi una mano voi se potete..
Grazie mille!
Bene per la legge $ (nn_alpha G_alpha)^c = uu(G_alpha^c) $ sto usando la dimostrazione formale che se uno è contenuto nell'altro e l'altro è contenuto nell'uno allora ho risolto.
Quindi:
(a) pongo $ omega in (nn_alpha G_alpha)^c $ $rarr$ $ omega notin nn_alpha G_alpha $ $rarr$ $ omega notin G_alpha AAalpha $ $rarr$ $ omega in G_alpha^c AAalpha $ $rarr$ $ omega in uu_alpha(G_alpha^c) $
Quindi $ (nn_alpha G_alpha)^c in uu(G_alpha^c) $
(b) pongo $ omega in uu_alpha(G_alpha^c) $ $rarr$ ....
Con lo stesso ragionamento dovrei arrivare a dimostrare che $ uu(G_alpha^c) in (nn_alpha G_alpha)^c $
Così avrei risolto.
Ma non riesco a continuare perchè secondo me la condizione a cui mi sono fermato non implica necessariamente qualcosa..
Non so datemi una mano voi se potete..
Grazie mille!
Ciao, hai commesso due errori, uno di concetto e uno di scrittura.
Il primo:
Ma $ omega notin nn_alpha G_alpha $ non vuol dire che $AA alpha$ si ha che $omega notin G_alpha$. Piuttosto vuol dire che $EE alpha_1$ tale che $omega notin G_(alpha_1)$
Il secondo:
Quanto alla tua domanda, sì, puoi usare lo stesso ragionamento all'inverso.
Il primo:
"ing@mate":Fin qui ok.
(a) pongo $ omega in (nn_alpha G_alpha)^c $ $rArr$ $ omega notin nn_alpha G_alpha $ $rArr$
Ma $ omega notin nn_alpha G_alpha $ non vuol dire che $AA alpha$ si ha che $omega notin G_alpha$. Piuttosto vuol dire che $EE alpha_1$ tale che $omega notin G_(alpha_1)$
Il secondo:
"ing@mate":non è $in$, ma $sube$
Quindi $ (nn_alpha G_alpha)^c in uu(G_alpha^c) $
Quanto alla tua domanda, sì, puoi usare lo stesso ragionamento all'inverso.
Oh! Grazie mille per avermi corretto, ho chiarito adesso molte cose! Si il secondo errore era di battitura mi son confuso!
Un'ultima precisazione.. quindi tutte quelle freccine che ho scritto sono in realtà 'se e solo se' ($hArr$) giusto?
Un'ultima precisazione.. quindi tutte quelle freccine che ho scritto sono in realtà 'se e solo se' ($hArr$) giusto?
Esattamente
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