Legame tra fattorizzazione in $QQ[x]$ e fattorizzazione in $ZZ[x]$
Siano $f(x)$ e $g(x)$ due elementi di $QQ[x]$ il cui prodotto $p(x)=f(x)g(x)$ appartiene a $ZZ[x]$. Dimostrare che il prodotto di uno qualsiasi dei coefficienti di $f(x)$ e di uno qualsiasi dei coefficienti di $g(x)$ da un numero intero.
Ho cercato di utilizzare la relazione che c'è tra la fattorizzazione in $QQ[x]$ e quella in $ZZ[x]$: esistono due elementi $r_1,r_2 in QQ$ tali per cui $f'(x)=r_1f(x)$ e $g'(x)=r_2g(x)$ hanno solo coefficienti interi e $p(x)=f'(x)g'(x)$.
Poi ho provato con un approccio induttivo sui coefficienti scritti come somma di prodotti ma c'erano troppi casi da verificare.
Risposte
Ciao solaàl, mi sa che non ho capito la tua osservazione. In ogni caso aggiungo dei dettagli.
L'esercizio è preso da "Abstract Algebra" di Dummit e Foote pag. 306 es. 2.
Il risultato a cui faccio riferimento è il seguente:
L'esercizio è preso da "Abstract Algebra" di Dummit e Foote pag. 306 es. 2.
Il risultato a cui faccio riferimento è il seguente:
Ecco la mia dimostrazione (EDIT: sbalgiata 
).
$f(x) in ZZ[x]$ e $f(x)=A(x)B(x)$ con $A(x), B(x) in QQ[x]$. Siano $a_0, ..., a_k$ i coefficienti di $A(x)$ e $b_0, ..., b_m$ quelli di $B(x)$, dimostreremo che $a_ib_j$ appartiene a $ZZ$.
Senza perdita di generalità possiamo supporre che il massimo comun divisore tra tutti i coefficienti di $f(x)$ sia $1$, la dimostrazione del caso generale in cui i coefficienti possono avere un fattore comune $d$ segue da quella del caso particolare:
$f'(x)=df(x)=A'(x)B(x)$
$A(x)=1/dA'(x)$
$f(x) = A(x)B(x)$
Si ha che $a'_ib_j=da_ib_j$, e quindi appartiene a $ZZ$ se $a_ia_j$ appartiene a $ZZ$.
Dal lemma di Gauss citato precedentemente si dimostra che esistono $r,s in QQ$ e $a(x), b(x) in ZZ[x]$ tali che:
$A(x)=ra(x)$
$B(x)=sb(x)$
$f(x)=ra(x)sb(x)$
Scriviamo $c=rs$ e quindi $f(x)=ca(x)b(x)$.
Possiamo supporre che i coefficienti di $a(x)$ non abbiano fattori in comune fra loro, infatti se così fosse possiamo adoperare le sostituzioni:
$a'(x)=da(x)$
$c=c'd$
$f(x)=c'a'(x)b(x)=ca(x)b(x)$
Lo stesso ragionamento vale per $b(x)$ che quindi supponiamo non avere fattori comuni a tutti i suoi coefficienti.
Chiamiamo $a'_0, ..., a'_k$ i coefficienti di $a(x)$ e $b'_0,...,b'_m$ quelli di $b(x)$, si ha che:
$a_ib_j=ca'_ib'_j$ con $a'_i, b'_j in ZZ$
Dimostreremo che $c=1$ concludendo quindi che $a_ib_j in ZZ$.
Scriviamo $c=g/q$ ai minimi termini, il coefficiente di grado $n$ di $f(x)$ si può scrivere come $ g/qsum_(i=0)^na'_ib'_(n-i) in ZZ$. Notiamo che $g$ è un fattore comune a tutti i coefficienti di $f(x)$ che abbiamo supposto non avere fattori comuni, quindi $g=1$ e $c=1/q$.
Poiché i coefficienti sono interi si ha che $q$ divide tutti i termini del tipo $sum_(i=0)^na'_ib'_(n-i)$, e quindi se $p$ è un primo che divide $q$ si ha che deve dividere tutti i termini che appaiono nella somma di ogni coefficiente, dimostreremo che questo è impossibile.
Se esiste un $a'_i$ e un $b'_j$ non divisibili per $p$ allora come termine della sommatoria del coefficiente di grado $i+j$ comparirà $a'_i b'_j$ che non è divisibile per $p$. Quindi o tutti i coefficienti di $a(x)$ sono divisibili per $p$ o lo sono tutti quelli di $b(x)$, in entrambi i casi ci troviamo in contraddizione in quanto li abbiamo supposti non avere fattori in comune fra loro. (EDIT: non è vero che $p|a+b$ implica $p|a$ e $p|b$)
Ne segue che $q=1$ e quindi $c=1$ completando la dimostrazione.
).$f(x) in ZZ[x]$ e $f(x)=A(x)B(x)$ con $A(x), B(x) in QQ[x]$. Siano $a_0, ..., a_k$ i coefficienti di $A(x)$ e $b_0, ..., b_m$ quelli di $B(x)$, dimostreremo che $a_ib_j$ appartiene a $ZZ$.
Senza perdita di generalità possiamo supporre che il massimo comun divisore tra tutti i coefficienti di $f(x)$ sia $1$, la dimostrazione del caso generale in cui i coefficienti possono avere un fattore comune $d$ segue da quella del caso particolare:
$f'(x)=df(x)=A'(x)B(x)$
$A(x)=1/dA'(x)$
$f(x) = A(x)B(x)$
Si ha che $a'_ib_j=da_ib_j$, e quindi appartiene a $ZZ$ se $a_ia_j$ appartiene a $ZZ$.
Dal lemma di Gauss citato precedentemente si dimostra che esistono $r,s in QQ$ e $a(x), b(x) in ZZ[x]$ tali che:
$A(x)=ra(x)$
$B(x)=sb(x)$
$f(x)=ra(x)sb(x)$
Scriviamo $c=rs$ e quindi $f(x)=ca(x)b(x)$.
Possiamo supporre che i coefficienti di $a(x)$ non abbiano fattori in comune fra loro, infatti se così fosse possiamo adoperare le sostituzioni:
$a'(x)=da(x)$
$c=c'd$
$f(x)=c'a'(x)b(x)=ca(x)b(x)$
Lo stesso ragionamento vale per $b(x)$ che quindi supponiamo non avere fattori comuni a tutti i suoi coefficienti.
Chiamiamo $a'_0, ..., a'_k$ i coefficienti di $a(x)$ e $b'_0,...,b'_m$ quelli di $b(x)$, si ha che:
$a_ib_j=ca'_ib'_j$ con $a'_i, b'_j in ZZ$
Dimostreremo che $c=1$ concludendo quindi che $a_ib_j in ZZ$.
Scriviamo $c=g/q$ ai minimi termini, il coefficiente di grado $n$ di $f(x)$ si può scrivere come $ g/qsum_(i=0)^na'_ib'_(n-i) in ZZ$. Notiamo che $g$ è un fattore comune a tutti i coefficienti di $f(x)$ che abbiamo supposto non avere fattori comuni, quindi $g=1$ e $c=1/q$.
Poiché i coefficienti sono interi si ha che $q$ divide tutti i termini del tipo $sum_(i=0)^na'_ib'_(n-i)$, e quindi se $p$ è un primo che divide $q$ si ha che deve dividere tutti i termini che appaiono nella somma di ogni coefficiente, dimostreremo che questo è impossibile.
Se esiste un $a'_i$ e un $b'_j$ non divisibili per $p$ allora come termine della sommatoria del coefficiente di grado $i+j$ comparirà $a'_i b'_j$ che non è divisibile per $p$. Quindi o tutti i coefficienti di $a(x)$ sono divisibili per $p$ o lo sono tutti quelli di $b(x)$, in entrambi i casi ci troviamo in contraddizione in quanto li abbiamo supposti non avere fattori in comune fra loro. (EDIT: non è vero che $p|a+b$ implica $p|a$ e $p|b$)
Ne segue che $q=1$ e quindi $c=1$ completando la dimostrazione.
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