Laterali di un sottogruppo

[Obionekenobi1]

Ho un problema con un teorema sui laterali. Il mio prof. a lezione ha scritto il seguente teorema: "Dato un sottogruppo H di un gruppo moltiplicativo G, si ha che
a appartiene ad H se e solo se aH=H". Quello che non capisco io è perchè vale solo che aH=H, e non vale pure che aH=H=Ha. Pure consultando diversi testi inglesi ho trovato sempre scritto come ha scritto il mio prof.. Evidentemente c'è qualcosa che non va. Se qualcuno ha una idea mi aiuti. Grazie.

[Steven11]

La seconda che dici è la definizione di sottogruppo normale, che suppongo tu non abbia ancora visto (ma lo farai di certo).

Puoi verificare che questa ad esempio non vale in $S_3$, con il sottogruppo di ordine 2 generato da [tex]$(2\quad3)$[/tex], e prendendo come $a$ l'elemento [tex]$(1\quad3)$[/tex]

Ciao!

[mistake89]

Ciò che dice Steven è vero se si considera ogni $a in G$. In generale infatti classi laterali destre e sinistre non coincidono.

Tuttavia se $a in H$ allora $aH=H$ essendo $H$ un sottogruppo e quindi chiuso rispetto alla sua legge interna e di conseguenza $Ha=H$.
Ciò ovviamente non vuol dire che $ah=ha$

Sperando di non aver cannato (la stanchezza è una brutta bestia...)