Lasker Noether e gruppi abeliani finitamente generati
Salve. Preparando l'esame di Algebra 2, sono arrivato a ripetere il teorema di Lasker Noether che abbiamo enunciato e dimostrato (per essere precisi solo la parte dell'esistenza della decomposizione in un anello noetheriano unitario, quindi non nel caso più generale), tuttavia senza soffermarci troppo. Facendo qualche ricerca, trovo sulla pagina inglese di Wikipedia che in qualche modo questo risultato generalizza il teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati, ma onestamente non capisco come. Se non vi reca disturbo, potreste dirmi se è vero e se sì qual è il legame?
Risposte
Siccome gruppo abeliano = $ZZ$-modulo, questa è la parte che ti interessa:
"Wiki":
It has a straightforward extension to modules stating that every submodule of a finitely generated module over a Noetherian ring is a finite intersection of primary submodules. This contains the case for rings as a special case, considering the ring as a module over itself, so that ideals are submodules. This also generalizes the primary decomposition form of the structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain.
Grazie per la risposta, tuttavia nel teorema dei gruppi abeliani finitamente generati entra in gioco un prodotto diretto e non un'intersezione, perciò non capisco il legame.
Per intenderci: nell'enunciato del teorema di Lasker Noether sia per gli anelli che per i moduli, si parla di ideali o di sottomoduli che sono intersezione di ideali/sottomoduli primari, mentre sia che nel teorema dei gruppi abeliani finitamente generati, sia per il teorema di struttura sui moduli finitamente generati su un anello principale, si afferma che il gruppo è isomorfo alla somma diretta di moduli o gruppi...ora, io pensavo che o il legame fosse dovuto a qualche teorema di isomorfismo, oppure a quella parte che riporta wikipedia sui primi associati che tuttavia non ho capito bene (sperando anche di non star andando troppo oltre come mio solito).
Come prima cosa bisognerebbe trovare (possibilmente su un libro di testo) la formulazione esatta del teorema di Lasker-Noether per i moduli. In particolare cosa si intende con sottomoduli primari. Io partirei da lì.
Grazie per il consiglio. Ho fatto come mi hai detto e non conoscendo nessun testo che trattasse questo argomento, ho controllato su wikipedia dove veniva consigliato "Commutative Algebra" di Bourbaki. Ho controllato questo testo e qui ho trovato la definzione di sottomodulo primario...tuttavia mi mancano così tante conoscenze che mi risulta poco chiara la definzione e quindi forse dovrei provare a rivedere ciò quando avrò maggiori conoscenze e competenze. Quindi per ora mi accontento solo di sapere una cosa, ovvero, è vero che questa versione di Lasker Noether è una generalizzazione di tutti i teoremi che abbiamo citato?
Grazie per il consiglio. Ho fatto come mi hai detto e non conoscendo nessun testo che trattasse questo argomento, ho controllato su wikipedia dove veniva consigliato "Commutative Algebra" di Bourbaki. Ho controllato questo testo e qui ho trovato la definzione di sottomodulo primario...tuttavia mi mancano così tante conoscenze che mi risulta poco chiara la definzione e quindi forse dovrei provare a rivedere ciò quando avrò maggiori conoscenze e competenze. Quindi per ora mi accontento solo di sapere una cosa, ovvero, è vero che questa versione di Lasker Noether è una generalizzazione di tutti i teoremi che abbiamo citato?
Non ne ho idea purtroppo. Quando si parla di "estensione" di un risultato c'è possibilmente del lavoro da fare in mezzo (che non ho mai fatto, per questo non ti so rispondere), magari aspetta che risponda qualcuno che lo sa. In generale una frase di wikipedia buttata lì senza argomentazioni non rappresenta necessariamente un (più o meno profondo) risultato matematico.
Comunque di sicuro ha a che vedere con lo scrivere il sottomodulo nullo come intersezione di sottomoduli primari (dopo averli definiti) e usare poi qualche versione del teorema cinese del resto nella sua versione generale, cioè [CONTROLLARE PER BENE quello che sto scrivendo qui] il fatto che se $A$ e $B$ sono sottomoduli di $M$ e $A+B=M$ (coprimalità) allora $M//A nn B$ è isomorfo a $M//A xx M//B$. Per esempio se hai due sottomoduli primari $A$ e $B$ con intersezione nulla e coprimi allora questo argomento mostra che $M$ è isomorfo a $M//A xx M//B$. [Comunque controlla bene perché questo vale per anelli e ideali e non ho scritto la dimostrazione per i moduli, ti sto dando delle idee.]
Tutto questo ricordando che bisogna definire per bene cosa si intende con sottomodulo primario (definizione che non mi sembra discenda canonicamente dalla definizione di ideale primario di un anello).
Comunque di sicuro ha a che vedere con lo scrivere il sottomodulo nullo come intersezione di sottomoduli primari (dopo averli definiti) e usare poi qualche versione del teorema cinese del resto nella sua versione generale, cioè [CONTROLLARE PER BENE quello che sto scrivendo qui] il fatto che se $A$ e $B$ sono sottomoduli di $M$ e $A+B=M$ (coprimalità) allora $M//A nn B$ è isomorfo a $M//A xx M//B$. Per esempio se hai due sottomoduli primari $A$ e $B$ con intersezione nulla e coprimi allora questo argomento mostra che $M$ è isomorfo a $M//A xx M//B$. [Comunque controlla bene perché questo vale per anelli e ideali e non ho scritto la dimostrazione per i moduli, ti sto dando delle idee.]
Tutto questo ricordando che bisogna definire per bene cosa si intende con sottomodulo primario (definizione che non mi sembra discenda canonicamente dalla definizione di ideale primario di un anello).
Grazie di tutto, veramente. Onestamente non pensavo si passasse così facilmente da Algebra 2 ad Algebra Commutativa.
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