La successione esatta di Aut(G)
Sia $G$ un gruppo e sia $Aut(G)$ il suo gruppo degli automorfismi, ovvero
\[
Aut(G) = \{\phi : G \to G : \phi \text{ e' un isomorfismo di gruppi}\}
\]
Il gruppo $G$ agisce per coniugio su se stesso, cioe' per ogni $h \in G$ esiste un morfismo $\phi_h : G\to G$ definito da $\phi_h (g) = h^{-1} g h$. E' facile osservare che $\phi_h$ e' un isomorfismo e che il suo inverso e' $\phi_{h^{-1}}$. In particolare $\phi_h \in Aut(G)$.
Questa osservazione definisce un morfismo di gruppi
\[
\Phi : G \to Aut(G)\\
h \mapsto \phi_h
\]
Il nucleo di questo morfismo e' $\ker \Phi = Z(G)$, il centro di $G$. L'immagine di questo morfismo e' un sottogruppo di $Aut(G)$, chiamato sottogruppo degli automorfismi esterni, che denotiamo \(Inn(G)\). Si osserva che \(Inn(G)\) e' un sottogruppo normale di $Aut(G)$. Per il primo teorema di omomorfismo \( Inn(G) \simeq G/Z(G)\).
Siccome il gruppo degli automorfismi interni e' normale, abbiamo il quoziente \(Out(G) = Aut(G)/Inn(G)\), chiamato gruppo degli automorfismi esterni di $G$. Si ottiene, per definizione, la successione esatta
\[
1 \to Inn(G) \to Aut(G) \to Out(G) \to 1
\]
dove la prima mappa e' l'immersione naturale e la seconda mappa e' il passaggio al quoziente.
Domanda: esistono casi interessanti, non troppo complessi, in cui questa successione non si splitta? Ovvero, esistono casi interessanti, non troppo complessi, in cui \(Aut(G) \not\simeq Inn(G) \rtimes Out(G)\)?
Conosco diversi casi in cui si splitta: banalmente tutti i gruppi abeliani e i gruppi simmetrici (forse non $S_6$? ma perche' no?). Meno banalmente i gruppi di Lie sul campo complesso: vedi Fulton, Harris: Prop. D40 (pag 498), in cui capisco l'enunciato ma non la dimostrazione; una dimostrazione diversa, ma non sono sicuro se l'enunciato sia equivalente, e' sul teso di Procesi, che non ho sotto mano.
Sono quasi sicuro che la risposta alla mia domanda sia positiva; forse la domanda vera e' un pochino piu' ampia: quale potrebbe essere una tecnica standard per dimostrare che una successione esatta di questo tipo non si splitta?
\[
Aut(G) = \{\phi : G \to G : \phi \text{ e' un isomorfismo di gruppi}\}
\]
Il gruppo $G$ agisce per coniugio su se stesso, cioe' per ogni $h \in G$ esiste un morfismo $\phi_h : G\to G$ definito da $\phi_h (g) = h^{-1} g h$. E' facile osservare che $\phi_h$ e' un isomorfismo e che il suo inverso e' $\phi_{h^{-1}}$. In particolare $\phi_h \in Aut(G)$.
Questa osservazione definisce un morfismo di gruppi
\[
\Phi : G \to Aut(G)\\
h \mapsto \phi_h
\]
Il nucleo di questo morfismo e' $\ker \Phi = Z(G)$, il centro di $G$. L'immagine di questo morfismo e' un sottogruppo di $Aut(G)$, chiamato sottogruppo degli automorfismi esterni, che denotiamo \(Inn(G)\). Si osserva che \(Inn(G)\) e' un sottogruppo normale di $Aut(G)$. Per il primo teorema di omomorfismo \( Inn(G) \simeq G/Z(G)\).
Siccome il gruppo degli automorfismi interni e' normale, abbiamo il quoziente \(Out(G) = Aut(G)/Inn(G)\), chiamato gruppo degli automorfismi esterni di $G$. Si ottiene, per definizione, la successione esatta
\[
1 \to Inn(G) \to Aut(G) \to Out(G) \to 1
\]
dove la prima mappa e' l'immersione naturale e la seconda mappa e' il passaggio al quoziente.
Domanda: esistono casi interessanti, non troppo complessi, in cui questa successione non si splitta? Ovvero, esistono casi interessanti, non troppo complessi, in cui \(Aut(G) \not\simeq Inn(G) \rtimes Out(G)\)?
Conosco diversi casi in cui si splitta: banalmente tutti i gruppi abeliani e i gruppi simmetrici (forse non $S_6$? ma perche' no?). Meno banalmente i gruppi di Lie sul campo complesso: vedi Fulton, Harris: Prop. D40 (pag 498), in cui capisco l'enunciato ma non la dimostrazione; una dimostrazione diversa, ma non sono sicuro se l'enunciato sia equivalente, e' sul teso di Procesi, che non ho sotto mano.
Sono quasi sicuro che la risposta alla mia domanda sia positiva; forse la domanda vera e' un pochino piu' ampia: quale potrebbe essere una tecnica standard per dimostrare che una successione esatta di questo tipo non si splitta?
Risposte
Ebbene sì: \(\displaystyle\mathrm{Sym}6\) è l'unico gruppo simmetrico (non banale) con gruppo \(\displaystyle\mathrm{Out}\) non banale;
per una introduzione a questo fatto leggi wikipedia.en click oppure consulta Passmann - Permutational Groups (o una cosa del genere).
UPDATE Ho frainteso la domanda: la risposta dovrebbe essere \(\displaystyle\mathrm{Alt}6\) in quanto \(\displaystyle\mathrm{Aut}(\mathrm{Alt6})=\mathrm{Sym}6\rtimes\mathbb{Z}_2\not\simeq\mathrm{Sym}6\rtimes\mathrm{V}_4=\mathrm{Inn}(\mathrm{Alt}6)\rtimes\mathrm{Out}(\mathrm{Alt}6)\)!
per una introduzione a questo fatto leggi wikipedia.en click oppure consulta Passmann - Permutational Groups (o una cosa del genere).
UPDATE Ho frainteso la domanda: la risposta dovrebbe essere \(\displaystyle\mathrm{Alt}6\) in quanto \(\displaystyle\mathrm{Aut}(\mathrm{Alt6})=\mathrm{Sym}6\rtimes\mathbb{Z}_2\not\simeq\mathrm{Sym}6\rtimes\mathrm{V}_4=\mathrm{Inn}(\mathrm{Alt}6)\rtimes\mathrm{Out}(\mathrm{Alt}6)\)!
Ciao! Alcune considerazioni.
Sia [tex]N \unlhd G[/tex]. Quando dico "[tex]G[/tex] spezza su [tex]N[/tex]" oppure "[tex]N[/tex] spezza in [tex]G[/tex]" intendo che esiste [tex]H \leq G[/tex] con [tex]HN = G[/tex] e [tex]H \cap N = \{1\}[/tex] (in questo caso si ha [tex]G \cong N \rtimes H[/tex] dove l'azione è data dal coniugio).
1. [tex]C_4[/tex] non spezza su [tex]C_2[/tex]. Più in generale se [tex]m[/tex] divide [tex]n[/tex] e [tex]m,n/m[/tex] non sono coprimi allora [tex]C_n[/tex] non spezza su [tex]C_m[/tex]. Infatti in un gruppo abeliano i prodotti semidiretti sono diretti e quindi se [tex]C_n[/tex] spezza su [tex]C_m[/tex] allora [tex]C_n \cong C_m \times C_{n/m}[/tex] e questo forza la coprimalità tra [tex]m[/tex] e [tex]n/m[/tex].
2. Se [tex]G[/tex] spezza su [tex]N \unlhd G[/tex] e [tex]L \unlhd G[/tex] con [tex]L \subseteq N[/tex] allora [tex]G/L[/tex] spezza su [tex]N/L[/tex]. Infatti supponiamo che esista [tex]H \leq G[/tex] con [tex]HN = G[/tex] e [tex]H \cap N = \{1\}[/tex]. Considero [tex]HL/L[/tex]. Si ha [tex](HL/L)(N/L) = HLN/L = G/L[/tex] e se [tex]hlL \in HL/L \cap N/L[/tex] con [tex]h \in H, l \in L[/tex] allora [tex]hl \in N[/tex] quindi essendo [tex]l \in L \subseteq N[/tex] anche [tex]h \in N[/tex] da cui essendo [tex]h \in H[/tex] si ha [tex]h=1[/tex] quindi [tex]hlL = lL = L[/tex].
3. Consideriamo il gruppo diedrale [tex]D_5[/tex] di grado [tex]5[/tex] (e ordine [tex]10[/tex]). Ha centro banale e il suo gruppo degli automorfismi ha la forma [tex]C_5 \rtimes C_4[/tex]. Per quanto discusso sopra, se [tex]D_5 \cong C_5 \rtimes C_2[/tex] spezzasse in [tex]C_5 \rtimes C_4[/tex] allora [tex]C_4[/tex] spezzerebbe su [tex]C_2[/tex], assurdo. Lo stesso ragionamento si può fare con [tex]D_p[/tex] dove [tex]p[/tex] è un primo congruo a 1 modulo 4 (in questo caso il gruppo degli automorfismi è [tex]AGL(1,p) = C_p \rtimes C_{p-1}[/tex]).
I gruppi semplici che spezzano nel loro gruppo di automorfismi sono stati determinati nell'articolo "On the existence of a complement for a finite simple group in its automorphism group" di A. Lucchini, F. Menegazzo e M. Morigi.
Sia [tex]N \unlhd G[/tex]. Quando dico "[tex]G[/tex] spezza su [tex]N[/tex]" oppure "[tex]N[/tex] spezza in [tex]G[/tex]" intendo che esiste [tex]H \leq G[/tex] con [tex]HN = G[/tex] e [tex]H \cap N = \{1\}[/tex] (in questo caso si ha [tex]G \cong N \rtimes H[/tex] dove l'azione è data dal coniugio).
1. [tex]C_4[/tex] non spezza su [tex]C_2[/tex]. Più in generale se [tex]m[/tex] divide [tex]n[/tex] e [tex]m,n/m[/tex] non sono coprimi allora [tex]C_n[/tex] non spezza su [tex]C_m[/tex]. Infatti in un gruppo abeliano i prodotti semidiretti sono diretti e quindi se [tex]C_n[/tex] spezza su [tex]C_m[/tex] allora [tex]C_n \cong C_m \times C_{n/m}[/tex] e questo forza la coprimalità tra [tex]m[/tex] e [tex]n/m[/tex].
2. Se [tex]G[/tex] spezza su [tex]N \unlhd G[/tex] e [tex]L \unlhd G[/tex] con [tex]L \subseteq N[/tex] allora [tex]G/L[/tex] spezza su [tex]N/L[/tex]. Infatti supponiamo che esista [tex]H \leq G[/tex] con [tex]HN = G[/tex] e [tex]H \cap N = \{1\}[/tex]. Considero [tex]HL/L[/tex]. Si ha [tex](HL/L)(N/L) = HLN/L = G/L[/tex] e se [tex]hlL \in HL/L \cap N/L[/tex] con [tex]h \in H, l \in L[/tex] allora [tex]hl \in N[/tex] quindi essendo [tex]l \in L \subseteq N[/tex] anche [tex]h \in N[/tex] da cui essendo [tex]h \in H[/tex] si ha [tex]h=1[/tex] quindi [tex]hlL = lL = L[/tex].
3. Consideriamo il gruppo diedrale [tex]D_5[/tex] di grado [tex]5[/tex] (e ordine [tex]10[/tex]). Ha centro banale e il suo gruppo degli automorfismi ha la forma [tex]C_5 \rtimes C_4[/tex]. Per quanto discusso sopra, se [tex]D_5 \cong C_5 \rtimes C_2[/tex] spezzasse in [tex]C_5 \rtimes C_4[/tex] allora [tex]C_4[/tex] spezzerebbe su [tex]C_2[/tex], assurdo. Lo stesso ragionamento si può fare con [tex]D_p[/tex] dove [tex]p[/tex] è un primo congruo a 1 modulo 4 (in questo caso il gruppo degli automorfismi è [tex]AGL(1,p) = C_p \rtimes C_{p-1}[/tex]).
I gruppi semplici che spezzano nel loro gruppo di automorfismi sono stati determinati nell'articolo "On the existence of a complement for a finite simple group in its automorphism group" di A. Lucchini, F. Menegazzo e M. Morigi.
Ottimo. Grazie ad entrambi.
Quindi per tutti i diedrali $D_p$ con $p$ primo che sia $1$ mod $4$ hanno successione degli automorfismi che non si spezza.
Per l'automorfismo esterno di $S_6$, ho ancora qualche dubbio ma vedro' di chiarirmelo con la referenza che hai consigliato.
Quindi per tutti i diedrali $D_p$ con $p$ primo che sia $1$ mod $4$ hanno successione degli automorfismi che non si spezza.
Per l'automorfismo esterno di $S_6$, ho ancora qualche dubbio ma vedro' di chiarirmelo con la referenza che hai consigliato.
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