La struttura algebrica su un quoziente che rende \( \pi \) un omomorfismo è unica
\( \newcommand{\ER}{\mathrel{\mathcal{E}}} \)Ciao. Definisco un'algebra \( \left(A,\left(\omega_A\right)_{\omega\in T}\right) \) di tipo \( T=\left(T,\left(n_\omega\right)_{\omega\in T}\right) \) come una coppia di un insieme \( A \) e di una famiglia indicizzata \( \omega\mapsto\omega_A \) di operazioni \( n_\omega \)-arie su \( A \)
\[
\omega_A\colon\Bigg\{\begin{aligned}A^{n_\omega} &\to A\\
\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right) &\mapsto \omega_A\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)\end{aligned}
\] e chiamo la famiglia \( \left(\omega_A\right)_{\omega\in T} \) struttura di \( T \)-algebra su \( A \).
Voglio provare che se esiste una struttura di \( T \)-algebra sul quoziente \( A/{\ER} \) di \( A \) per una relazione di equivalenza \( {\ER} \), tale che la proiezione canonica \( \pi\colon A\to A/{\ER} \) sia un omomorfismo[nota]Ossia tale che
commuti per ogni \( \omega\in T \), dove \( \pi^{n_{\omega}} \) è il prodotto cartesiano della proiezione canonica con se stessa, \( n_{\omega} \) volte; i.e.
\[
\pi^{n_{\omega}}\colon\left(x_1,\dots,x_{n_{\omega}}\right)\mapsto\left(\pi(x_1),\dots,\pi(x_{n_\omega})\right)
\][/nota], allora tale struttura è unica.
Dimostrazione. Sia \( \colon\left({\omega_{A/{\ER}}}^{\prime}\right)_{\omega\in T} \) una struttura di \( T \)-algebra su \( A/{\ER} \); siano \( \omega\in T \). Allora occorre far vedere che \( \omega_{A/{\ER}}={\omega_{A/{\ER}}}^{\prime} \). Sia \( \left(E_1,\dots,E_{n_\omega}\right) \) una \( n_{\omega} \)-upla di classi di \( A/{\ER} \). Abbiamo che \( \pi^{n_\omega} \) è suriettiva, e
\[
\left(E_1,\dots,E_{n_\omega}\right) = \pi^{n_\omega}\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)
\] In quanto omomorfismo, posso "percorrere il digramma (quello qui sotto) all'indietro", e affermare che
\[
{\omega_{A/{\ER}}}^{\prime}\left(E_1,\dots,E_{n_\omega}\right) = {\omega_{A/{\ER}}}^{\prime}\circ\pi^{n_\omega}\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)=\pi\circ\omega_A\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)
\]\( \square \)
La cosa dovrebbe essere banale, in quanto me la trovo liquidata con "\( \pi^{n_\omega} \) è suriettiva". Ho provato a svolgere tutti i passaggi per impratichirmi. Come va?
\[
\omega_A\colon\Bigg\{\begin{aligned}A^{n_\omega} &\to A\\
\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right) &\mapsto \omega_A\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)\end{aligned}
\] e chiamo la famiglia \( \left(\omega_A\right)_{\omega\in T} \) struttura di \( T \)-algebra su \( A \).
Voglio provare che se esiste una struttura di \( T \)-algebra sul quoziente \( A/{\ER} \) di \( A \) per una relazione di equivalenza \( {\ER} \), tale che la proiezione canonica \( \pi\colon A\to A/{\ER} \) sia un omomorfismo[nota]Ossia tale che
[tex]\xymatrix{
{A^{n_{\omega}}}\ar[d]_{\omega_A}\ar[r]^{\pi^{n_{\omega}}} & {{A/{\mathrel{\mathcal{E}}}}^{n_{\omega}}}\ar[d]^{\omega_{A/{\mathrel{\mathcal{E}}}}}\\ A\ar[r]_{\pi} & {A/{\mathrel{\mathcal{E}}}} }[/tex]
{A^{n_{\omega}}}\ar[d]_{\omega_A}\ar[r]^{\pi^{n_{\omega}}} & {{A/{\mathrel{\mathcal{E}}}}^{n_{\omega}}}\ar[d]^{\omega_{A/{\mathrel{\mathcal{E}}}}}\\ A\ar[r]_{\pi} & {A/{\mathrel{\mathcal{E}}}} }[/tex]
commuti per ogni \( \omega\in T \), dove \( \pi^{n_{\omega}} \) è il prodotto cartesiano della proiezione canonica con se stessa, \( n_{\omega} \) volte; i.e.
\[
\pi^{n_{\omega}}\colon\left(x_1,\dots,x_{n_{\omega}}\right)\mapsto\left(\pi(x_1),\dots,\pi(x_{n_\omega})\right)
\][/nota], allora tale struttura è unica.
Dimostrazione. Sia \( \colon\left({\omega_{A/{\ER}}}^{\prime}\right)_{\omega\in T} \) una struttura di \( T \)-algebra su \( A/{\ER} \); siano \( \omega\in T \). Allora occorre far vedere che \( \omega_{A/{\ER}}={\omega_{A/{\ER}}}^{\prime} \). Sia \( \left(E_1,\dots,E_{n_\omega}\right) \) una \( n_{\omega} \)-upla di classi di \( A/{\ER} \). Abbiamo che \( \pi^{n_\omega} \) è suriettiva, e
\[
\left(E_1,\dots,E_{n_\omega}\right) = \pi^{n_\omega}\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)
\] In quanto omomorfismo, posso "percorrere il digramma (quello qui sotto) all'indietro", e affermare che
\[
{\omega_{A/{\ER}}}^{\prime}\left(E_1,\dots,E_{n_\omega}\right) = {\omega_{A/{\ER}}}^{\prime}\circ\pi^{n_\omega}\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)=\pi\circ\omega_A\left(x_1,\dots,x_{n_\omega}\right)
\]\( \square \)
La cosa dovrebbe essere banale, in quanto me la trovo liquidata con "\( \pi^{n_\omega} \) è suriettiva". Ho provato a svolgere tutti i passaggi per impratichirmi. Come va?
Risposte
Questa notazione nun se po vede
È stato difficile da scrivere (intendo proprio in tex, letteralmente). È giusto che lo sia anche da leggere.
[ot]
Che cavolata.
La notazione va scelta in modo da semplificare la lettura, non da complicarla.[/ot]
"marco2132k":
È stato difficile da scrivere (intendo proprio in tex, letteralmente). È giusto che lo sia anche da leggere.
Che cavolata.
La notazione va scelta in modo da semplificare la lettura, non da complicarla.[/ot]
[ot]Ma figurati se non era ironico 
[/ot]
Mi sembra piuttosto naturale indicare una struttura di \( T \)-algebra come una \( T \)-upla indicizzata di operazioni su \( A \). Il punto è che qui
[/ot]Mi sembra piuttosto naturale indicare una struttura di \( T \)-algebra come una \( T \)-upla indicizzata di operazioni su \( A \). Il punto è che qui
\( \newcommand{\ER}{\mathrel{\mathcal{E}}} \)Dimostrazione. Sia \( \colon\left({\omega_{A/{\ER}}}^{\prime}\right)_{\omega\in T} \) una struttura di \( T \)-algebra su \( A/{\ER} \); siano \( \omega\in T \). Allora occorre far vedere che \( \omega_{A/{\ER}}={\omega_{A/{\ER}}}^{\prime} \).diventa un macello, ma non saprei come riscrivere in modo più chiaro. (Potrei chiamare con delle lettere estranee le due strutture - ad esempio ponendo \( s \) uguale alla funzione \( {-}_{A/{\ER}}\colon T\to\mathrm{funzioni}\left(A/{\ER}^{n_{-}},A/{\ER}\right)\), e \( s^{\prime} \) a quella che ho distinto col [inline]^{\prime}[/inline]. Andrebbe meglio?)
Mi sembra piuttosto naturale indicare una struttura di T-algebra come una T-upla indicizzata di operazioni su A.
Comunque è sempre meglio tenere separati la T-algebra e il tipo. Una T-algebra è un'interpretazione del tipo nella categoria degli insiemi (o in qualsiasi altra abbia prodotti finiti).
Tu hai definito il tipo come una famiglia di numeri indicizzata dai simboli di operazione, che è una cosa imho non bellissima da vedere.
Come saprai già, il tipo, essendo una funzione che associa a ogni simbolo di operazione un numero naturale, identifica univocamente una famiglia di insiemi disgiunti indicizzata dai numeri naturali, ciascuno contenente i simboli di operazione di arietà n-esima. Questo ti permette di alleggerire un po' di notazioni barocche a cui altrimenti saresti costretto.
Però perché al tipo corrisponda un'univoca famiglia disgiunta indicizzata dai naturali, cioè per poter in pratica dire che esiste una funzione \( \chi \) tale che
commuti, non occorre sia \( T\geqq\mathbb{N} \)? Non è una richiesta un po' forte?
La cosa che trovo più sensata (e forse intendi proprio questo, e sono io ad esser cotto, ora), è, dato un tipo \( \tau=n_{-}\colon T\to\mathbb{N} \), considerare la famiglia indicizzata da dei naturali, namely dall'immagine \( \operatorname{Im}n_{-} \).
Allora è possibile definire un tipo come una famiglia disgiunta di insiemi di "simboli", indicizzata da un insieme \( I\subset\mathbb{N} \), appunto.
Domani vedo di completare. Grazie per il consiglio!
[tex]\xymatrix{T\ar[dr]_{\pi}\ar[r]^{\tau}&{\mathbb{N}}\ar@{-->}[d]^{\chi}\\&{T/\mathrm{ker}\,\tau} }[/tex]
commuti, non occorre sia \( T\geqq\mathbb{N} \)? Non è una richiesta un po' forte?
La cosa che trovo più sensata (e forse intendi proprio questo, e sono io ad esser cotto, ora), è, dato un tipo \( \tau=n_{-}\colon T\to\mathbb{N} \), considerare la famiglia indicizzata da dei naturali, namely dall'immagine \( \operatorname{Im}n_{-} \).
Allora è possibile definire un tipo come una famiglia disgiunta di insiemi di "simboli", indicizzata da un insieme \( I\subset\mathbb{N} \), appunto.
Domani vedo di completare. Grazie per il consiglio!
Non c'è bisogno di chiedere che la funzione del tipo sia suriettiva. La famiglia è quella delle fibre della funzione su ciascun numero naturale, e non c'è bisogno di chiedere che tutte le fibre siano non vuote .
Se vuoi, puoi provare a dimostrare che fissato un insieme $I$, la categoria slice su $I$ (cioè quella delle funzioni con codominio $I$) è equivalente a quella dei funtori da $I$ alla categoria degli insiemi (cioè, famiglie di insiemi indicizzate da $I$). Quando ci hai pensato su un attimo, puoi andarti a vedere la soluzione a pagina 28 di Sheaves in Geometry and Logic.
.Se vuoi, puoi provare a dimostrare che fissato un insieme $I$, la categoria slice su $I$ (cioè quella delle funzioni con codominio $I$) è equivalente a quella dei funtori da $I$ alla categoria degli insiemi (cioè, famiglie di insiemi indicizzate da $I$). Quando ci hai pensato su un attimo, puoi andarti a vedere la soluzione a pagina 28 di Sheaves in Geometry and Logic.
Ok. Così il tipo di un anello è una famiglia \( \left(\Sigma_n\right)_{n\in\mathbb{N}} \) dove
\[
\begin{aligned}
0&\mapsto\left\{\mathsf{neutro}_0\right\}=\Sigma_0\\
1&\mapsto\left\{\mathsf{inverso}_0\right\}=\Sigma_1\\
2&\mapsto\left\{\mathsf{prodotto}_0,\mathsf{prodotto}_1\right\}=\Sigma_2\\
3&\mapsto\emptyset\\
\vdots
\end{aligned}
\]
Però non capisco troppo il senso di non restringere la funzione \( \tau \) del tipo alla sua immagine: così l'insieme delle fibre coinciderebbe con \( T/{\mathrel{\operatorname{ker}\tau}} \), e si risparmierebbero gli insiemi vuoti.
In settimana proverò a fare la dimostrazione che mi hai proposto (o almeno vedo se ci capisco qualcosa, dato che volevo solo farmi un'idea più generale dei teoremi di isomorfismo, senza andare troppo in profondità con l'UA)
\[
\begin{aligned}
0&\mapsto\left\{\mathsf{neutro}_0\right\}=\Sigma_0\\
1&\mapsto\left\{\mathsf{inverso}_0\right\}=\Sigma_1\\
2&\mapsto\left\{\mathsf{prodotto}_0,\mathsf{prodotto}_1\right\}=\Sigma_2\\
3&\mapsto\emptyset\\
\vdots
\end{aligned}
\]
Però non capisco troppo il senso di non restringere la funzione \( \tau \) del tipo alla sua immagine: così l'insieme delle fibre coinciderebbe con \( T/{\mathrel{\operatorname{ker}\tau}} \), e si risparmierebbero gli insiemi vuoti.
In settimana proverò a fare la dimostrazione che mi hai proposto (o almeno vedo se ci capisco qualcosa, dato che volevo solo farmi un'idea più generale dei teoremi di isomorfismo, senza andare troppo in profondità con l'UA)
Il discorso che vuoi fare è chiaro, è già implicito nella definizione. Il punto è che le parole costano di più degli insiemi vuoti . L'esercizio proposto serviva solo per renderti più chiara l'equivalenza tra le due definizioni, ma lo puoi ignorare perchè non c'entra molto con il thread e con i tuoi scopi di studio.
. L'esercizio proposto serviva solo per renderti più chiara l'equivalenza tra le due definizioni, ma lo puoi ignorare perchè non c'entra molto con il thread e con i tuoi scopi di studio.
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