La categoria dei prefasci su una categoria piccola è un topos
Buongiorno! Sto cercando di capire perché la categoria dei prefasci su una categoria piccola $\mathbf C$, ossia la categoria di funtori $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$, è un topos. In particolare, voglio in questo momento trovare un classificatore, e per farlo sto guardando la sezione 4, intitolata Typical Subobject Classifiers, del primo capitolo di Sheaves in Geometry and Logic.
Qui spiega come definire un classificatore introducendo il concetto di sieve, ma io voglio farne a meno. Voglio farlo usando, per ogni oggetto $C$ della categoria $\mathbf C$, i sottofuntori di $\text{Hom}_{\mathbf C}(-,C)$ al posto dei sieve su $C$.
Un oggetto terminale per la categoria $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$ è il funtore
$$1:C^{\text{op}}\rightarrow\mathbf{Set},\qquad C\mapsto \{*\}.$$
Definisco il funtore $\Omega:C^{\text{op}}\rightarrow\mathbf{Set}$ che su un oggetto $C$ funziona così:
$$\Omega(C)=\text{Sub}\big(\text{Hom_}_{\mathbf C}(-,C)\big)$$ e su una freccia $C'\stackrel{f}{\rightarrow} C$ funziona così:
$$\Omega(f):\Omega(C)\rightarrow\Omega(C'),\qquad P\mapsto\Omega(f)(P),$$ dove $\Omega(f)(P)$ rende pullback il quadrato
Poi definisco la trasformazione naturale $\text{true}:1\to\Omega$ ponendo, per ogni oggetto $C$,
$$\text{true}_C:1(C)=\{*\}\longrightarrow\Omega(C),\qquad *\mapsto\text{Hom}_\mathbf{C}(-,C).$$
A questo punto, se non ho sbagliato, la mia speranza è dimostrare che $1\stackrel{\text{true}}\rightarrow\Omega$ è un classificatore per $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$.
Quindi considero un mono $Q\rightarrow P$ in $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$ e voglio dimostrare che esiste un'unica trasformazione naturale $\varphi$ che rende pullback il diagramma
Per ogni oggetto $C$ di $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$ e ogni elemento $x\in PC$, questa $\varphi$ è una trasformazione naturale tale che $\varphi_C(x)$ sia un certo sottofuntore di $\text{Hom}_\mathbf{C}(-,C)$, e cioè quello che su un oggetto $A$ di $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$ opera così:
$$\big(\varphi_C(x)\big)(A)=\{g\mid g:A\to C, (Pg)(x)\in QA\}.$$
Voglio adesso capire perché questa $\varphi$ è l'unica che rende pullback il diagramma di sopra. Se seguo la dimostrazione del libro, c'è un punto in cui mi perdo totalmente, a pagina 39 in alto, cioè dove prende una generica trasformazione naturale $\theta$ che rende pullback il diagramma sopra, e poi vuole dimostrare che è proprio uguale a $\varphi$. A parte il fatto che nel libro è scritto $\text{true}_A$ quando dovrebbe essere $\text{true}_A(\star)$, riesco a seguire i passaggi che fa tranne uno.
Dati $x\in PC$ e una freccia $f:A\to C$, riesco ad arrivare a capire il fatto che $(Pf)(x)\in QA$ se e solo se
$$(\Omega f)(\theta_A x)=\text{true}_A(*),$$ e questo significa che il diagramma
è pullback. Ora, sarò sicuramente scemo io, ma da questo fatto non riesco a dimostrare in modo chiaro che $\theta=\varphi$. Consigli?
Grazie a tutti, buon pomeriggio!
Qui spiega come definire un classificatore introducendo il concetto di sieve, ma io voglio farne a meno. Voglio farlo usando, per ogni oggetto $C$ della categoria $\mathbf C$, i sottofuntori di $\text{Hom}_{\mathbf C}(-,C)$ al posto dei sieve su $C$.
Un oggetto terminale per la categoria $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$ è il funtore
$$1:C^{\text{op}}\rightarrow\mathbf{Set},\qquad C\mapsto \{*\}.$$
Definisco il funtore $\Omega:C^{\text{op}}\rightarrow\mathbf{Set}$ che su un oggetto $C$ funziona così:
$$\Omega(C)=\text{Sub}\big(\text{Hom_}_{\mathbf C}(-,C)\big)$$ e su una freccia $C'\stackrel{f}{\rightarrow} C$ funziona così:
$$\Omega(f):\Omega(C)\rightarrow\Omega(C'),\qquad P\mapsto\Omega(f)(P),$$ dove $\Omega(f)(P)$ rende pullback il quadrato
[tex]\xymatrix { \Omega(f)(P) \ar[d] \ar[r] & P \ar[d] \\ \text{Hom}_\mathbf{C}(-,C^\prime) \ar[r]_{f\circ -} & \text{Hom}_\mathbf{C}(-,C) }[/tex]
Poi definisco la trasformazione naturale $\text{true}:1\to\Omega$ ponendo, per ogni oggetto $C$,
$$\text{true}_C:1(C)=\{*\}\longrightarrow\Omega(C),\qquad *\mapsto\text{Hom}_\mathbf{C}(-,C).$$
A questo punto, se non ho sbagliato, la mia speranza è dimostrare che $1\stackrel{\text{true}}\rightarrow\Omega$ è un classificatore per $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$.
Quindi considero un mono $Q\rightarrow P$ in $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$ e voglio dimostrare che esiste un'unica trasformazione naturale $\varphi$ che rende pullback il diagramma
[tex]\xymatrix { Q \ar[d] \ar[r] & 1 \ar[d]^{\text{true}} \\ P \ar[r]_{\varphi} & \Omega }[/tex]
Per ogni oggetto $C$ di $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$ e ogni elemento $x\in PC$, questa $\varphi$ è una trasformazione naturale tale che $\varphi_C(x)$ sia un certo sottofuntore di $\text{Hom}_\mathbf{C}(-,C)$, e cioè quello che su un oggetto $A$ di $[\mathbf C^{\text{op}}, \mathbf{Set}]$ opera così:
$$\big(\varphi_C(x)\big)(A)=\{g\mid g:A\to C, (Pg)(x)\in QA\}.$$
Voglio adesso capire perché questa $\varphi$ è l'unica che rende pullback il diagramma di sopra. Se seguo la dimostrazione del libro, c'è un punto in cui mi perdo totalmente, a pagina 39 in alto, cioè dove prende una generica trasformazione naturale $\theta$ che rende pullback il diagramma sopra, e poi vuole dimostrare che è proprio uguale a $\varphi$. A parte il fatto che nel libro è scritto $\text{true}_A$ quando dovrebbe essere $\text{true}_A(\star)$, riesco a seguire i passaggi che fa tranne uno.
Dati $x\in PC$ e una freccia $f:A\to C$, riesco ad arrivare a capire il fatto che $(Pf)(x)\in QA$ se e solo se
$$(\Omega f)(\theta_A x)=\text{true}_A(*),$$ e questo significa che il diagramma
[tex]\xymatrix { \text{Hom}_\mathbf C(-,A) \ar[d] \ar[r] & \theta_A x \ar[d] \\ \text{Hom}_\mathbf{C}(-,A) \ar[r]_{f\circ -} & \text{Hom}_\mathbf{C}(-,C) }[/tex]
è pullback. Ora, sarò sicuramente scemo io, ma da questo fatto non riesco a dimostrare in modo chiaro che $\theta=\varphi$. Consigli?
Grazie a tutti, buon pomeriggio!
Risposte
Il ragionamento è questo:
data una trasformazione naturale $\theta$ che rende pullback il diagramma che sappiamo, considero una mappa $f in \text {Hom}(A,C)$.
Dato $x in P(C)$, $P(f)(x) in P(A)$ e $P(f)(x) in Q(A)$ se e solo se $\theta_A(P(f)(x))= \text{true}_A(*)=H_A$.
Siccome per naturalità di $\theta$ si ha che $\theta_A(P(f)(x))= \text{pullback lungo f di } \theta_C(x)=_(\text{def}) \theta_C(x)\cdot f$ , questo vuol dire che $ \text{pullback lungo f di } \theta_C(x)= H_A$ e questo ti dice che $f in \theta_C(x)$. Quindi hai appena dimostrato che i morfismi che stanno nel sottofuntore $\theta_C(x)$ sono esattamente quelli che stanno in $\phi_C(x)$ per come lo avevi definito, quindi $\theta_C(x)=\phi_C(x)$ per ogni $x in P(C) $ e quindi le due funzioni sono uguali.
data una trasformazione naturale $\theta$ che rende pullback il diagramma che sappiamo, considero una mappa $f in \text {Hom}(A,C)$.
Dato $x in P(C)$, $P(f)(x) in P(A)$ e $P(f)(x) in Q(A)$ se e solo se $\theta_A(P(f)(x))= \text{true}_A(*)=H_A$.
Siccome per naturalità di $\theta$ si ha che $\theta_A(P(f)(x))= \text{pullback lungo f di } \theta_C(x)=_(\text{def}) \theta_C(x)\cdot f$ , questo vuol dire che $ \text{pullback lungo f di } \theta_C(x)= H_A$ e questo ti dice che $f in \theta_C(x)$. Quindi hai appena dimostrato che i morfismi che stanno nel sottofuntore $\theta_C(x)$ sono esattamente quelli che stanno in $\phi_C(x)$ per come lo avevi definito, quindi $\theta_C(x)=\phi_C(x)$ per ogni $x in P(C) $ e quindi le due funzioni sono uguali.
Ti ringrazio per la disponibilità! Ma cosa significa che un morfismo sta in un sottofuntore?
In realtà è un mio abuso di linguaggio. $\theta_C(x)$ è un sottofuntore di $H_C$ e quindi $\theta_C(x)(A)$ , che è dove sta $f$, è un sottoinsieme di $\text{Hom}(A,C)$.
La dimostrazione si chiude perché hai preso un generico $A$ ,e una generica $f$. La possibilità di dire che "un morfismo sta in un sottofuntore" , che abbrevia il discorso, è una comodità data dal ragionare con i sieves (o crivelli) invece che con i sottofuntori.
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