John Baez sulla teoria delle categorie (in spagnolo)

[dissonance]

https://elpais.com/elpais/2019/11/06/ci ... 24789.html

È uscito oggi. Interessante. Sono un fan della divulgazione di John Baez.

[dissonance]

"Indrjo Dedej":Bene. Se non l'hai fatto ancora, non ti resta che prendere un libro di teoria delle categorie e iniziare.

Mi fa doppiamente sorridere questo atteggiamento "patronizing" ([¹]), tipico di killing_buddha; doppiamente, perché non viene dal killing in persona ma da un suo emulatore.

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[¹] To patronize = treat in a way that is apparently kind or helpful but that betrays a feeling of superiority.

[solaàl]

La critica maggiore alla teoria categoria è che spesso si sa che qualcosa esiste ma non si sa quasi nulla su quell'oggetto.

Questo non mi sembra vero. Oppure, non capisco cosa significa... E' abbastanza comune in matematica saper dimostrare che qualcosa esiste, ma avere poche idee su come sia fatto, non mi sembra un difetto della teoria che ha asserito l'esistenza.
Anzi, a quel che vedo la teoria delle categorie spinge molto verso il costruttivismo. (Tu stesso hai linkato, poco sopra, degli articoli che lo affermano...)

[Indrjo Dedej]

[ot]

"dissonance":
To patronize = treat in a way that is apparently kind or helpful but that betrays a feeling of superiority.

And I, stupid!, sicerely wanted to be helpful, open a good communication. Maybe I am not able to do that or I overrated you. But, hey, go on smiling: it's better than nothing.[/ot]

[solaàl]

Perché non restiamo nei binari del parlare di matematica? Mi sembra stiate facendo più un processo alla persona (assente?) e questo è non solo off-topic, ma dà una sensazione di repulsione a chi si voglia avvicinare alla matematica pura e semplice.

Io avrei delle domande tecniche, ma a questo punto ho paura a porle, perchè sembrate tutti incattiviti, e ho paura che rimangano unnoticed (non ricordo come si dice in italiano) perché vedete le cose con pregiudizio.

[j18eos]

@otta96 Si vede che è più forte di me...

@solaàl Prova a chiedere lo stesso!

[Bremen000]

"solaàl":Perché non restiamo nei binari del parlare di matematica? Mi sembra stiate facendo più un processo alla persona (assente?) e questo è non solo off-topic, ma dà una sensazione di repulsione a chi si voglia avvicinare alla matematica pura e semplice.

Io avrei delle domande tecniche, ma a questo punto ho paura a porle, perchè sembrate tutti incattiviti, e ho paura che rimangano unnoticed (non ricordo come si dice in italiano) perché vedete le cose con pregiudizio.

Ehi guarda che nessuno sta processando nessuno. Si è solo sottolineata l'entrata a gamba tesa di Indrjo.
Va tutto bene, chiedi quello che vuoi e sicuramente si discuterà volentieri.

Per esempio, nel mio piccolo, io non ho nulla contro la teoria delle categorie anche se non è il "mio campo". Mi affascina molto e mi sono studiato qualcosina. Nessun pregiudizio, come tutti gli altri, sono sicuro.

[solaàl]

Questo è uno dei pochi thread cui ho risposto, e lo seguo perché mi interessa l'argomento; ma invece di parlare di matematica sembra stiate rivangando vecchie storie tra di voi. E' un po' seccante, no?

Mi sembra ovvio che "entrare a gamba tesa" sia un atteggiamento che indispone al dialogo altrettanto almeno. Perciò lo chiedo di nuovo: si può parlare di matematica invece che di storie personali? Si possono fare delle domande?

Da quello che mi è sembrato di vedere, questo linguaggio sembra privilegiare soluzioni scalable (come si dice in italiano?), facilmente esportabili (mi viene in mente il concetto di reusable code) e concettuali. Cosa che la rende interessante già di suo. E' vero, è così?

[vict85]

@Solaàl: Hai letto l'articolo? Cosa ne pensi?

Comunque, la teoria delle categorie e le teorie collegate, sono nate per permettere di definire con un linguaggio unificato tutta una serie di risultati. Sinceramente non parlerei tanto di reusable code: si tratta di un vero e proprio livello di astrazione. In un certo senso, la teoria delle categorie serve a spiegare perché certi risultati sono validi in molti ambiti e altri funzionano solo per alcune categorie. Per esempio, la categoria degli insiemi possiede caratteristiche che smettono di esserci nella categoria degli spazi topologici. La teoria delle categorie cerca di capire cosa li distingua.

[Indrjo Dedej]

Io non userei termini del tipo "reusable code" o "esportabili" (sarà perché sono temini informatici che non mi piacciono). Userei piutosto il termine di pattern, più o meno ubiquamente presenti nelle teorie matematiche e nelle sue costruzioni. Si tratta di far risaltare analogie più o meno profonde in teorie od oggetti apparentemente diversi. Certe volte senti che non è importante che un oggetto sia "proprio quello", ma certe proprietà in si ritrovano con certe anologie in altre strutture. D'altronde, perché limitarsi a "proprio quell'oggetto"? Perché farlo se ho delle proprietà ricorrenti con altri oggetti? Nella teoria delle categorie molte volte si ha a che fare con etichette, nomi, su oggetti non so propriamente "cosa sono" in senso classico. Sugli oggetti di cui parlo mi interessano i pattern, sapere che un oggetto è proprio quello non mi interessa più. Ti faccio un esempio tra questi pattern di cui ti sto parlando. Do per scontato che tu sappia cosa sia una categoria (non è difficile comunque) con i suoi abitanti: oggetti, morfismi e composzioni. Lavoriamo dentro una categoria: un prodotto di due oggetti \(x\) e \(y\) è un oggetto chiamato \(p\) con associati due morfismi \(\pi_x \colon p \to x\) e \(\pi_y \colon p \to y\) con questa proprietà: per ogni oggetto \(z\) con due morfismi \(f \colon z \to x\) e \(g \colon z \to y\) esiste un unico morfismo \(h \colon z \to p\) per cui commuta

[tex]\xymatrix{
& z \ar[dr]^g \ar[dl]_f \ar[d]|h & \\
x & p \ar[r]_{\pi_y} \ar[l]^{\pi_x} & y
}[/tex]

In questo caso, volendo soffermarsi troppo su "quali" oggetti si ha a che fare non ha senso (anche perché constateresti di star parlando di fuffa). Piuttosto consideri questa situazione come un pattern. Nella categoria degli insiemi, \(\mathbf{Set}\), il prodotto è il prodotto cartesiano; se vedi un poset (pensa a \(\mathbb R\) con l'ordine usuale \(\le\)) come una categoria, il prodotto di due oggetti è il minimo; se consideri \(\mathbb N\) con la relazione di divisibilità, il prodotto di due numeri naturali è il massimo comun divisore; ... indovina cos'è l'intersezione di due insiemi? (Prendi \(\wp(X)\) con l'intersezione definita sui sottoinsiemi di \(X\)).
Ovvio che cercare i pattern, ti porta anche a capire le distinzioni... Ma sono distinzioni profonde. Vedila così: la teroia delle categorie è un linguaggio.
Ovvio che la teoria delle categorie ha degli sviluppi e dei risultati suoi, non si limita soltanto a tirare fuori pattern anche tra cose strane.

[solaàl]

C'è una categoria dove il prodotto di due oggetti non esiste?

[Indrjo Dedej]

Sì. Prendi quella con due oggetti e con solamente le identità come morfismi: il prodotto dei suoi due oggetti non esiste. In questo caso impedisci da subito l'esistenza di un prodotto.