[Isomorfismo]Come funziona?
Buongiorno, oggi mi è capitato un esercizio con l'isomorfismo:
Abbiamo l'insieme degli elementi invertibili in Z_16 U(Z_16), e vogliamo sapere se è isomorfo all'insieme degli elementi invertibili in Z_24 U(Z_24), come fare?
Io sapevo che bastasse che entrambi avessero la stessa cardinalità ( cosa che ho verificato avevano), ma esce fuori che non sono isomorfi, c'é qualche condizione che mi sfugge? Potete darmi qualche dritta?
Abbiamo l'insieme degli elementi invertibili in Z_16 U(Z_16), e vogliamo sapere se è isomorfo all'insieme degli elementi invertibili in Z_24 U(Z_24), come fare?
Io sapevo che bastasse che entrambi avessero la stessa cardinalità ( cosa che ho verificato avevano), ma esce fuori che non sono isomorfi, c'é qualche condizione che mi sfugge? Potete darmi qualche dritta?
Risposte
Ci sono diversi modi per verificare che quei due gruppi non sono isomorfi. Ovviamente per essere isomorfi avere la stessa cardinalità è condizione necessaria ma assolutamente non sufficiente.
Nel tuo caso il claim segue immediatamente dal teorema cinese del resto insieme al fatto che $(\mathbb Z/{2^n\mathbb Z})^{\times}\cong C_2\times C_{2^{n-2}}$, per $n>2$.
Un modo alternativo è questo: quanti elementi $x$ ci sono in $(\mathbb Z/{16\mathbb Z})^{\times}$ tali che $x^2=1$? Se $x\in \mathbb Z$ è tale che $16 | x^2-1$, allora necessariamente $8| x-1$ oppure $8| x+1$. Gli elementi di $(\mathbb Z/{16\mathbb Z})^{\times}$ che sono $1$ modulo $8$ sono $1,9$ mentre quelli che sono $-1$ modulo $8$ sono $7,15$. Ergo, in $(\mathbb Z/{16\mathbb Z})^{\times}$ ci sono 4 elementi il cui quadrato è 1. D'altra parte puoi verificare in modo simile che in $(\mathbb Z/{24\mathbb Z})^{\times}$ ce ne sono 8. Ne segue che i due gruppi non sono isomorfi.
Nel tuo caso il claim segue immediatamente dal teorema cinese del resto insieme al fatto che $(\mathbb Z/{2^n\mathbb Z})^{\times}\cong C_2\times C_{2^{n-2}}$, per $n>2$.
Un modo alternativo è questo: quanti elementi $x$ ci sono in $(\mathbb Z/{16\mathbb Z})^{\times}$ tali che $x^2=1$? Se $x\in \mathbb Z$ è tale che $16 | x^2-1$, allora necessariamente $8| x-1$ oppure $8| x+1$. Gli elementi di $(\mathbb Z/{16\mathbb Z})^{\times}$ che sono $1$ modulo $8$ sono $1,9$ mentre quelli che sono $-1$ modulo $8$ sono $7,15$. Ergo, in $(\mathbb Z/{16\mathbb Z})^{\times}$ ci sono 4 elementi il cui quadrato è 1. D'altra parte puoi verificare in modo simile che in $(\mathbb Z/{24\mathbb Z})^{\times}$ ce ne sono 8. Ne segue che i due gruppi non sono isomorfi.
???
Il teorema cinese del resto lo abbiamo fatto, ma solo applicato alla risoluzione di sitema di equazione ad un incognita modulo Zn.
Esce fuori che una parte degli elementi di U(Z_16) ha ordine 2, e l'altra ha ordine 4.
Siccome U(Z_24), nonostante abbia lo stesso numero di elementi, non ne abbia di ordine 4, risulta non essere isomorfo.
Quindi credo che per essere isomorfi due gruppi devono:
1) Avere lo stesso numero di elementi ( cioè stesso ordine)
2) Ogni elemento generatore ( <3> = { 3^t | 3 appartiene a U(Z_16) } per esempio) con un certo ordine t, deve avere un suo reciproco nell'altro gruppo ( (Z_24) in questo caso), cioè che abbia stesso ordine.
Il teorema cinese del resto lo abbiamo fatto, ma solo applicato alla risoluzione di sitema di equazione ad un incognita modulo Zn.
Esce fuori che una parte degli elementi di U(Z_16) ha ordine 2, e l'altra ha ordine 4.
Siccome U(Z_24), nonostante abbia lo stesso numero di elementi, non ne abbia di ordine 4, risulta non essere isomorfo.
Quindi credo che per essere isomorfi due gruppi devono:
1) Avere lo stesso numero di elementi ( cioè stesso ordine)
2) Ogni elemento generatore ( <3> = { 3^t | 3 appartiene a U(Z_16) } per esempio) con un certo ordine t, deve avere un suo reciproco nell'altro gruppo ( (Z_24) in questo caso), cioè che abbia stesso ordine.
Infatti, come ti ho scritto, esistono diverse strade, e la seconda che ti ho indicato non usa il CRT. Certamente, affinchè due gruppi $G$ ed $H$ siano isomorfi, è necessario che $|G[n]|=|H[n]|$ per ogni $n$, dove $G[n]$ è il sottoinsieme degli elementi di ordine un divisore di $n$. Se $G$ ed $H$ sono finiti, questo implica in particolare che hanno la stessa cardinalità. Quello che scrivi in 2) non è molto chiaro, cosa vorrebbe dire "avere un reciproco nell'altro gruppo"?
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