Isomorfismo tra Z[i] e Z x Z

[G.G211]

ciao a tutti!! un esercizio mi chiede se esiste un' isomorfismo di anelli tra $ Z $ e $ Z * Z $...
Ho provato a cercare qualche isomorfismo ma non riesco a trovarlo e non riesco nemmeno a dimostrare che non sono isomorfi... Qualcuno a qualche idea? grazie!

[Pappappero1]

Prova a pensare che l'anello degli interi di Gauss $\ZZ$ non ha divisori di zero, dal momento che è sottoanello del campo complesso $\CC$.

Invece $\ZZ \times \ZZ$ ha un sacco di divisori di zero.

Quindi non possono essere isomorfi.

Puoi però trovare un isomorfismo tra i gruppi additivi dei due anelli in questione. Prova a pensarci!!!

[maurer]

Immagino che in [tex]\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/tex] tu definisca il prodotto come [tex](a,b) \cdot (c,d) = (a\cdot c, b \cdot d)[/tex]. In tal caso l'isomorfismo non può esistere: [tex]\mathbb{Z}[/tex] è un dominio integro (addirittura euclideo), mentre in [tex]\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}[/tex] si ha [tex](1,0) \cdot (0,1) = (0,0)[/tex] e quindi ci sono divisori dello zero.

P.S. Questa è una conseguenza della struttura sintattica dell'assioma di dominio integro!

P.P.S. Ho scritto in contemporeanea a Pappapero

[G.G211]

Vi ringrazio, ora mi è venuto in mente...
L'isomorfismo tra gruppi additivi posso trovarlo mandando un generico elemento di $ Z $ cioè $ a+ib $ in $ (a, b) $ giusto?

[Pappappero1]

esatto XD