Isomorfismo tra S3 ed un gruppo di matrici
Salve,
Mi è stato posto il problema di individuare S3, il gruppo delle permutazioni di tre elementi, come gruppo di matrici. Inizialmente avevo trovato l'isomorfismo con il gruppo generale lineare di ordine 2 a coefficienti in Z2.
Il professore mi ha tuttavia detto che non era quello che intendeva, seppur corretto. Lui si riferiva piuttosto a matrici ortogonali del tipo
$((cos a,-sen a),(sen a,cos a))$
o in alternativa a matrici del tipo $((-cos a,sen a),(sen a,cos a))$
Matrici che, notoriamente, rappresentano le isometrie del piano.
A tal punto, sapendo che S3 è isomorfo al gruppo diedrale D3 , ho pensato che semplicemente gli elementi del gruppo fossero le matrici che rappresentavano le riflessioni rispetto alle bisettrici e le rotazioni intorno al centro che compongono D3.
Scritte però le tre matrici delle rotazioni, non ho saputo continuare con le riflessioni. Come procedere dunque?
Oltre a questo, sono piuttosto sicuro che tale procedimento si possa fare meno "meccanicamente" e cercando proprio di ricavarsi le matrici stesse senza conoscere come agiscono le simmetrie del piano ma solo conoscendo la forma delle matrici... Solo che non saprei da dove cominciare in questo caso
Mi è stato posto il problema di individuare S3, il gruppo delle permutazioni di tre elementi, come gruppo di matrici. Inizialmente avevo trovato l'isomorfismo con il gruppo generale lineare di ordine 2 a coefficienti in Z2.
Il professore mi ha tuttavia detto che non era quello che intendeva, seppur corretto. Lui si riferiva piuttosto a matrici ortogonali del tipo
$((cos a,-sen a),(sen a,cos a))$
o in alternativa a matrici del tipo $((-cos a,sen a),(sen a,cos a))$
Matrici che, notoriamente, rappresentano le isometrie del piano.
A tal punto, sapendo che S3 è isomorfo al gruppo diedrale D3 , ho pensato che semplicemente gli elementi del gruppo fossero le matrici che rappresentavano le riflessioni rispetto alle bisettrici e le rotazioni intorno al centro che compongono D3.
Scritte però le tre matrici delle rotazioni, non ho saputo continuare con le riflessioni. Come procedere dunque?
Oltre a questo, sono piuttosto sicuro che tale procedimento si possa fare meno "meccanicamente" e cercando proprio di ricavarsi le matrici stesse senza conoscere come agiscono le simmetrie del piano ma solo conoscendo la forma delle matrici... Solo che non saprei da dove cominciare in questo caso
Risposte
Considera la matrice \[A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\] e la famiglia di matrici \[ R(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\] allora la matrice \[ S(\alpha) = R(\alpha) A R(\alpha)^{-1}\] è la riflessione rispetto all'asse ruotato di \(\alpha\) in senso orario rispetto alla verticale (se non ricordo male).
Ovvero \[\begin{align} S(\alpha) &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} \cos^2\alpha - \sin^2\alpha & 2\cos\alpha \sin\alpha \\ 2\cos\alpha \sin\alpha & \sin^2\alpha -\cos^2\alpha \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \end{align}\]
Se non ho fatto i calcoli sbagliati. Comunque dovresti ora essere in grado di trovare il gruppo.
Ovvero \[\begin{align} S(\alpha) &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ \sin\alpha & -\cos\alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha \\ -\sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} \cos^2\alpha - \sin^2\alpha & 2\cos\alpha \sin\alpha \\ 2\cos\alpha \sin\alpha & \sin^2\alpha -\cos^2\alpha \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix} \cos 2\alpha & \sin 2\alpha \\ \sin 2\alpha & -\cos 2\alpha \end{pmatrix} \end{align}\]
Se non ho fatto i calcoli sbagliati. Comunque dovresti ora essere in grado di trovare il gruppo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo