Isomorfismo tra gruppi ciclici
Buonasera a tutti!
Devo provare la seguente proposizione:
"Due gruppi ciclici dello stesso ordine sono isomorfi".
Ho ragionato così:
Siano $(G;§)$ e $(G';°)$ due gruppi ciclici di ordine $n$. Allora esistono $ainG$ e $binG'$ tali che: $G={e,a,...,a^(n-1)}$ e $G'={e',b,...,b^(n-1)}$, per cui l'applicazione $phi:G->G'$ definita da $phi(a^h)=b^h$ è un isomorfismo tra $G$ e $G'$.
L'applicazione suggerita è questa. Resta un dubbio: come provo che $phi$ è un isomorfismo? Sono a conoscenza del fatto che un isomorfismo è un omomorfismo biiettivo, ma in questo caso, come lo dimostro? Avevo pensato che evidentamente l'applicazione è suriettiva perchè i due gruppi hanno lo stesso ordine, ma come verifico l'iniettività?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Devo provare la seguente proposizione:
"Due gruppi ciclici dello stesso ordine sono isomorfi".
Ho ragionato così:
Siano $(G;§)$ e $(G';°)$ due gruppi ciclici di ordine $n$. Allora esistono $ainG$ e $binG'$ tali che: $G={e,a,...,a^(n-1)}$ e $G'={e',b,...,b^(n-1)}$, per cui l'applicazione $phi:G->G'$ definita da $phi(a^h)=b^h$ è un isomorfismo tra $G$ e $G'$.
L'applicazione suggerita è questa. Resta un dubbio: come provo che $phi$ è un isomorfismo? Sono a conoscenza del fatto che un isomorfismo è un omomorfismo biiettivo, ma in questo caso, come lo dimostro? Avevo pensato che evidentamente l'applicazione è suriettiva perchè i due gruppi hanno lo stesso ordine, ma come verifico l'iniettività?
Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.
Risposte
Il kernel dell'omomorfismo è banale...
oltre a guardare il ker dell'applicazione, puoi anche osservare che se hai una funzione tra due insiemi finiti con la stessa cardinalita, ti basta provare una sola tra iniettivita e surgettivita, e l'altra ce l'hai gratis proprio per la cardinalita.
(scusate gli accenti, sono su una tastiera americana)
(scusate gli accenti, sono su una tastiera americana)
Ancora non avrei introdotto il concetto di kernel e quindi dovrei usare la definizione. Allo scopo ho ragionato così:
data l'applicazione $phi:G->G'$ definita dalla legge $phi(a^h)=b^h$, devo provare che è biiettiva... Qui dovreste aiutarmi a formalizzare il ragionamento.
Provo adesso che si tratta di un omomorfismo:
$phi(a^i*a^j)=phi(a^(i+j))=b^(i+j)=b^i*b^j=phi(a^i)*phi(a^j)$.
L'unico ostacolo è la prova della biiettività della funzione, ammesso che la prova dell'omomorfismo sia corretta.
data l'applicazione $phi:G->G'$ definita dalla legge $phi(a^h)=b^h$, devo provare che è biiettiva... Qui dovreste aiutarmi a formalizzare il ragionamento.
Provo adesso che si tratta di un omomorfismo:
$phi(a^i*a^j)=phi(a^(i+j))=b^(i+j)=b^i*b^j=phi(a^i)*phi(a^j)$.
L'unico ostacolo è la prova della biiettività della funzione, ammesso che la prova dell'omomorfismo sia corretta.
"Andrea90":
Ancora non avrei introdotto il concetto di kernel e quindi dovrei usare la definizione. Allo scopo ho ragionato così:
data l'applicazione $phi:G->G'$ definita dalla legge $phi(a^h)=b^h$, devo provare che è biiettiva... Qui dovreste aiutarmi a formalizzare il ragionamento.
Provo adesso che si tratta di un omomorfismo:
$phi(a^i*a^j)=phi(a^(i+j))=b^(i+j)=b^i*b^j=phi(a^i)*phi(a^j)$.
L'unico ostacolo è la prova della biiettività della funzione, ammesso che la prova dell'omomorfismo sia corretta.
Il suggerimento di blackbishop è valido per qualsiasi funzione tra insieme finiti... inoltre usa solo conoscenza base... non vedo cosa ti manca...
Per quanto riguarda l'iniettività comunque basta chiedersi quando [tex]\phi(a^i) = \phi(a^j)[/tex]
"vict85":
[quote="Andrea90"]Ancora non avrei introdotto il concetto di kernel e quindi dovrei usare la definizione. Allo scopo ho ragionato così:
data l'applicazione $phi:G->G'$ definita dalla legge $phi(a^h)=b^h$, devo provare che è biiettiva... Qui dovreste aiutarmi a formalizzare il ragionamento.
Provo adesso che si tratta di un omomorfismo:
$phi(a^i*a^j)=phi(a^(i+j))=b^(i+j)=b^i*b^j=phi(a^i)*phi(a^j)$.
L'unico ostacolo è la prova della biiettività della funzione, ammesso che la prova dell'omomorfismo sia corretta.
Il suggerimento di blackbishop è valido per qualsiasi funzione tra insieme finiti... inoltre usa solo conoscenza base... non vedo cosa ti manca...
Per quanto riguarda l'iniettività comunque basta chiedersi quando [tex]\phi(a^i) = \phi(a^j)[/tex][/quote]
Ho inviato il messaggio quasi contemporaneamente con blackbishop e quindi non avevo letto il suo suggerimento! In ogni caso, la prova dell'omomorfismo e quella della suriettività sono corrette?
Riguardo l'iniettività $phi(a^i)=b^i$ e $phi(a^j)=b^j$, da cui: $phi(a^i)=phi(a^j)<=>b^i=b^j<=>i=j$, giusto?
Un metodo alternativo sarebbe quello di provare che un gruppo ciclico di ordine $n$ è isomorfo a $ZZ_n$, da cui segue facilmente il tuo risultato considerando che l'isomorfismo gode della proprietà transitiva.
Sì, ho letto anche questa strada in un testo. Ma i ragionamenti ora esposti (suriettività, iniettività e verifica dell'omomorfismo) credete siano ben argomentati?
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