Isomorfismo tra gruppi

[gaten]

Ragazzi ho svolto il punto i) e ii) , ma non saprei come svolgere il punto iii) di questo esercizio:

http://imageshack.us/photo/my-images/22 ... ineih.jpg/

Come lo svolgo???

[Simonixx]

1] Devi provare che sia un omomorfismo di gruppo secondo le composizioni che ti dice, ovvero + per il dominio, * per il codominio. Quindi quando lavori con le immagini devi vedere che mantengono la composizione *, quando lavori con le controimmagini (elementi di $Z$) devi vedere che mantenono la composizione +.

Quindi che data $F: D -> C$, dove D è il dominio e C il codominio e siano in questo caso entrambi dei gruppi, allora:

$F(a)°F(b) = F(a°b)$

La composizione tra le immagini è quella del codominio, la composizione dentro l'immagine che avviene fra gli elementi a, b è ovviamente quella del dominio visto che $a,b in D$.

Nel nostro esercizio $D = (Z,+), C = (T,*)$


2] Data F omomorfismo, sarà isomorfismo se e solo se F è biunivoca, quindi sia iniettiva sia suriettiva. Ci sono dei criteri, dimostrabili, che dicono che F è iniettiva se e solo se $Ker(F) = {e_D}$ ovvero il nucleo sia banale e composto SOLO dall'elemento neutro appartenente a D; F è suriettiva se e solo se $Im(F) = C$, ovvero tutto il codominio è l'immagine del nostro omomorfismo.



Ora a te.

[vict85]

Si tratta semplicemente di fare i calcoli per testare che sia un omomorfismo e che abbia un'inversa (mi sembra il metodo più immediato per verificare che sia una biiezione).

Quali sono i tuoi dubbi?

[gaten]

Come faccio a verificare che è un omomorfismo?

[Simonixx]

Leggi il punto 1.
Anzi, ti direi di studiare le definizioni, che sono la base per ogni dimostrazione.

[vict85]

Te lo ha scritto simonixx

Devi verificare che \(\displaystyle f(a+b) = f(a)\ast f(b) \)

In altre parole devi mostrare che \(\displaystyle (a+b,1) = f(a+b) = f(a)\ast f(b) = (a,1)\ast (b,1)\)

L'ultimo passaggio però lo fai tu

[Simonixx]

In questo esercizio è così, ma spero impari il metodo generale, basato sulle definizioni e sulla teoria...