Isomorfismo tra due gruppi

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno, ho il seguente esercizio
Dimostrare che $R$/${-1,+1}$ -> $R$ è un isomorfismo.
Io ho pensato di risolvere trovando la legge dell'applicazione tramite il teorema che afferma che $xH=yH$ $<=>$ $x^-1y$ appartiene ad H
Quindi ho fatto che $x^-1y=h$ e perciò $y/x=-1$ o +1
Perciò $y=-x$ o $y=x$
A questo punto mi blocco e non so come sfruttare questo risultato per trovare la legge. Poi dimostrare l'omomorfismo so come farlo

[ludovica.sarandrea]

Mi scuso, il gruppo quoziente non è $R$/${-1,+1}$ ma $R^*$(moltiplicativo)/${-1,+1}$

[killing_buddha]

Se con $R$ intendi l'insieme dei numeri reali, l'isomorfismo sembra essere \(x \mapsto \log|x|\).

Per un generico campo è falso: prendi \(\mathbb{Z}/2\).

Per un anello, l'enunciato è che il semigruppo quoziente \(R/\{\pm 1\}\) è isomorfo al gruppo abeliano $(R,+)$; questo è falso prendendo, ad esempio \(R=\mathbb Z\).

[ludovica.sarandrea]

Con R intendo i reali.
Potresti spiegarmi come sei arrivato alla conclusione che $x-> log|x|$?

[killing_buddha]

Beh, ha tutte le proprietà richieste: è un omomorfismo suriettivo di gruppi che ha per nucleo esattamente \(\{\pm 1\}\). (tra l'altro, non ha senso dire che "$X \to Y$ è un isomorfismo" se non dici come è definito: tu non lo fai, dando per scontato che ne esista solo uno (e non è vero) )

[ludovica.sarandrea]

Quindi praticamente dovrei tentare di trovarne uno che abbia tutti i requisiti richiesti ogni volta che ho un esercizio del genere?