Isomorfismo sottogruppi
Ciao, amici! Dopo essere stato sveglio fino a tarda notte ed aver passato la mattinata a cercare di dimostrare il seguente fatto, provo a chiedere qui, sperando che qualcuno abbia pietà di un autodidatta alle prime armi con l'algebra...
Sia $G$ un gruppo contenente il sottogruppo normale $N$ soddisfacente la proprietà di massimalità: se $H\subset G$ è un sottogruppo e $N\subset H$ allora $H=G$ oppure $H=N$. Voglio dimostrare che due sottogruppi $H_1,H_2\subset G$ tali che \(H_1\ne\{1\}\ne H_2\) e \(H_1\cap =\{1\}=H_2\cap N\) sono isomorfi tra loro.
Mi pare che, nel caso fosse $N\subset H_1$ (senza perdita di generalità: si possono invertire gli indici $1$ e $2$) allora sarebbe \(N=\{1\}\subset H_2\) e perciò (essendo per ogni $i=1,2$ impossibile che \(H_i=N=\{1\}\)) si avrebbe \(H_1=G=H_2\), nel qual caso l'isomorfismo è banale, direi.
Invece, nel caso che \(N\setminus\{1\}\ne\emptyset\), non sono a ricavarne nulla... Ho provato ad applicare i teoremi di isomorfismo, che ho l'impressione che siano cruciali nella dimostrazione, ma non riesco a combinare niente...
Qualcuno ha qualche idea?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Sia $G$ un gruppo contenente il sottogruppo normale $N$ soddisfacente la proprietà di massimalità: se $H\subset G$ è un sottogruppo e $N\subset H$ allora $H=G$ oppure $H=N$. Voglio dimostrare che due sottogruppi $H_1,H_2\subset G$ tali che \(H_1\ne\{1\}\ne H_2\) e \(H_1\cap =\{1\}=H_2\cap N\) sono isomorfi tra loro.
Mi pare che, nel caso fosse $N\subset H_1$ (senza perdita di generalità: si possono invertire gli indici $1$ e $2$) allora sarebbe \(N=\{1\}\subset H_2\) e perciò (essendo per ogni $i=1,2$ impossibile che \(H_i=N=\{1\}\)) si avrebbe \(H_1=G=H_2\), nel qual caso l'isomorfismo è banale, direi.
Invece, nel caso che \(N\setminus\{1\}\ne\emptyset\), non sono a ricavarne nulla... Ho provato ad applicare i teoremi di isomorfismo, che ho l'impressione che siano cruciali nella dimostrazione, ma non riesco a combinare niente...
Qualcuno ha qualche idea?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Nel seguito la notazione [tex]H \leq G[/tex] significa che [tex]H[/tex] è un sottogruppo di [tex]G[/tex]. [tex]H \unlhd G[/tex] significa che [tex]H[/tex] è un sottogruppo normale di [tex]G[/tex].
Nel seguito se [tex]A,B[/tex] sono sottoinsiemi di [tex]G[/tex] definisco [tex]AB := \{ab\ :\ a \in A,\ b \in B\}[/tex]. E' facile verificare che se [tex]A,B \leq G[/tex] e uno tra [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] è normale in [tex]G[/tex] allora [tex]AB \leq G[/tex]. Più in generale, [tex]AB \leq G[/tex] se e solo se [tex]AB=BA[/tex]. Se [tex]A,B[/tex] sono entrambi normali allora [tex]AB \unlhd G[/tex]. Per la cronaca, se [tex]A,B \leq G[/tex] e [tex]A,B[/tex] sono finiti allora [tex]|AB| = |A| \cdot |B|/|A \cap B|[/tex].
Mettiamoci ora nelle tue notazioni e ipotesi.
Si ha che [tex]H_1N[/tex] e [tex]H_2N[/tex] sono sottogruppi di [tex]G[/tex]. Infatti [tex]N \unlhd G[/tex]. Non solo: poiché contengono [tex]N[/tex] propriamente e [tex]N[/tex] è massimale, dev'essere che [tex]H_1N = G = H_2N[/tex].
Sapendo questo riprova adesso ad applicare i teoremi di isomorfismo.
Nel seguito se [tex]A,B[/tex] sono sottoinsiemi di [tex]G[/tex] definisco [tex]AB := \{ab\ :\ a \in A,\ b \in B\}[/tex]. E' facile verificare che se [tex]A,B \leq G[/tex] e uno tra [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] è normale in [tex]G[/tex] allora [tex]AB \leq G[/tex]. Più in generale, [tex]AB \leq G[/tex] se e solo se [tex]AB=BA[/tex]. Se [tex]A,B[/tex] sono entrambi normali allora [tex]AB \unlhd G[/tex]. Per la cronaca, se [tex]A,B \leq G[/tex] e [tex]A,B[/tex] sono finiti allora [tex]|AB| = |A| \cdot |B|/|A \cap B|[/tex].
Mettiamoci ora nelle tue notazioni e ipotesi.
Si ha che [tex]H_1N[/tex] e [tex]H_2N[/tex] sono sottogruppi di [tex]G[/tex]. Infatti [tex]N \unlhd G[/tex]. Non solo: poiché contengono [tex]N[/tex] propriamente e [tex]N[/tex] è massimale, dev'essere che [tex]H_1N = G = H_2N[/tex].
Sapendo questo riprova adesso ad applicare i teoremi di isomorfismo.
Da quello che il Bosch chiama primo teorema di isomorfismo direi che ho
\(H_1/\{1\}\simeq G/N \simeq H_2/\{1\}\)
e l'isomorfismo \(H_i/\{1\}\simeq H_i\) direi che è immediato.
Grazie proprio di cuore!!! Spero procedendo di acquistare più dimestichezza con quella che è una delle branche della matematica che più mi affascina...
\(H_1/\{1\}\simeq G/N \simeq H_2/\{1\}\)
e l'isomorfismo \(H_i/\{1\}\simeq H_i\) direi che è immediato.Grazie proprio di cuore!!! Spero procedendo di acquistare più dimestichezza con quella che è una delle branche della matematica che più mi affascina...
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