Isomorfismo ostico

[Ext3rmin4tor]

Devo dimostrare che un anello A è isomorfo ad A/(X-a, Y-b) con a,b $in$ A e $(X-a, Y-b) = {l(X-a) + m(Y-b) : l.m in A}$ ideale generato da X-a e Y-b. Ora ho definito l'omomorfismo di anelli (con $bar P(X,Y)$ intendo la classe laterale P(X,Y) + (X-a, Y-b) ) $varphi(bar P(X,Y)) rarr P(a,b)$ è ho dimostrato che è un'applicazione valida e che è omomorfismo di anelli. Non riesco invece a dimostrare che è iniettivo ovvero che $Ker varphi = {bar 0}$.
Ho provato a partire considerando $bar A(X, Y) in Ker varphi$ e provando a dimostrare che $bar A(X, Y) = bar 0$ ossia equivalentemente che $A(X, Y) in (X-a, Y-b)$. Per definizione di Ker si avrebbe che A(a, b) = 0 ma non riesco a capire come sfruttare questa informazione perché è un polinomio in due variabili e non posso sfruttare il teorema della radice.

[miuemia]

Devo dimostrare che un anello A è isomorfo ad A/(X-a, Y-b)

forse intendevi $A[X,Y]//(X-a,Y-b)$????

[Ext3rmin4tor]

"miuemia":

Devo dimostrare che un anello A è isomorfo ad A/(X-a, Y-b)

forse intendevi $A[X,Y]//(X-a,Y-b)$????

Si scusa avevo sbagliato a scrivere, è l'anello dei polinomi individuato da A come hai scritto tu

[miuemia]

beh alllora applica più volte uno dei teoremi di isomorfismo questo in particolare

se $IsubeJ$ due ideali di un anello $A$ allora...

$A//J$ è ismomorfo ad $(A//I)//(J//I)$...

[Ext3rmin4tor]

"miuemia":beh alllora applica più volte uno dei teoremi di isomorfismo questo in particolare

se $IsubeJ$ due ideali di un anello $A$ allora...

$A//J$ è ismomorfo ad $(A//I)//(J//I)$...

Non l'ha spiegato e quindi non posso usarlo nemmeno all'esame. Non c'è un modo di farlo "a mano"? Ovvero senza usare teoremi di isomorfismi vari ma procedendo dimostrando l'iniettività dell'omomorfismo?

[miuemia]

beh allora se nn l'hai visto...prendiamo in considerazione il tuo "omomorfismo" (visto che hai dimostrato che lo è)....allora si deve dimostrare che è iniettivo e suriettivo....beh la suriettività è immediata... per l'iniettività è corretto quello che dici tu... e quindi se $A(x,y)$ è tale che $A(a,b)=0$ allora vuol dire che si fattorizzerà nel seguente modo
$A(x,y)=(x-a)(y-b)g(x,y)$ con $g(x,y)$ un opportuno polinomio...ma questa relazione dice proprio che $A(x,y)\in(x-a,y-b)$

ok????

[Ext3rmin4tor]

"miuemia":beh allora se nn l'hai visto...prendiamo in considerazione il tuo "omomorfismo" (visto che hai dimostrato che lo è)....allora si deve dimostrare che è iniettivo e suriettivo....beh la suriettività è immediata... per l'iniettività è corretto quello che dici tu... e quindi se $A(x,y)$ è tale che $A(a,b)=0$ allora vuol dire che si fattorizzerà nel seguente modo
$A(x,y)=(x-a)(y-b)g(x,y)$ con $g(x,y)$ un opportuno polinomio...ma questa relazione dice proprio che $A(x,y)\in(x-a,y-b)$

ok????

Ah ma la scomposizione in quel modo vale anche per polinomi di più variabili? Perché se è così allora ci ero arrivato è che non credevo si potesse applicare in questo caso. Infatti l'avevo usata nella dimostrazione che A è isomorfo a A[X]/(X-a)

[miuemia]

si vale anche per polinomi in due variabili...

[Studente Anonimo]

Ciao!

Su questo:

"miuemia":se $A(x,y)$ è tale che $A(a,b)=0$ allora vuol dire che si fattorizzerà nel seguente modo
$A(x,y)=(x-a)(y-b)g(x,y)$ con $g(x,y)$ un opportuno polinomio...ma questa relazione dice proprio che $A(x,y)\in(x-a,y-b)$

non sono d'accordo. Per esempio il polinomio P(x,y)=x-y verifica P(1,1)=0 ma non si fattorizza come $(x-1)(y-1)=xy-x-y+1$. Inoltre non si fattorizza nemmeno come (x-1)g(x,y) o come (y-1)g(x,y) per via del grado (che è 1, e non può aumentare).
D'altra parte P(x,y) sta nell'ideale (x-1,y-1) perché P(x,y)=(x-1)-(y-1).

[miuemia]

allora questo caso si tratterà a parte...credo

[Studente Anonimo]

Io credo si debba dire così: se P(x,y) è un polinomio tale che $P(a,b)=0$ allora introduciamo le nuove variabili $X=x-a$, $Y=y-b$, e definiamo $Q(X,Y)=P(X+a,Y+b)$. Q ha la proprietà che Q(0,0)=0. Ne segue che ogni monomio che compare in Q è diviso per X oppure per Y (se esistesse un monomio di Q non diviso da X né da Y, allora tale monomio sarebbe una costante). Quindi diciamo $Q(X,Y)=X*l(X,Y)+Y*k(X,Y)$ (dove l e k sono due polinomi in due variabili, non necessariamente unici).
Tornando a P, abbiamo allora che $P(x,y)=(x-a)*l(x-a,y-b)+(x-b)*k(x-a,y-b)$. Quindi P(x,y) sta nell'ideale (x-a,y-b).

[miuemia]

perfetto ...
grazie mille martino

[Studente Anonimo]

Di niente