Isomorfismo naturale

[Injo]

Studiando per un esame di Topologia Algebrica trovo spesso teoremi che mi provano l'esistenza di un "isomorfismo naturale" tra due gruppi. Cosa significa e qual'è la differenza dal semplice isomorfismo?

[Studente Anonimo]

In questo contesto "naturale" significa "canonico", cioe' ottenuto mediante operazioni "canoniche". Per esempio il primo teorema di isomorfismo per i gruppi dice che se [tex]f:G \to H[/tex] e' un omomorfismo suriettivo allora l'omomorfismo naturale [tex]G/\ker(f) \to H[/tex] e' un isomorfismo. Naturale perche' manda la classe laterale [tex]g \ker(f)[/tex] nell'unico oggetto sensato pensabile, cioe' [tex]f(g)[/tex].

Insomma, naturale significa ovvio.

Un altro esempio e': dati [tex]N_1,...,N_t[/tex] sottogruppi normali di [tex]G[/tex] consideriamo l'omomorfismo naturale [tex]G \to G/N_1 \times ... \times G/N_t[/tex]. Si tratta evidentemente della funzione definita da [tex]g \mapsto (gN_1,...,gN_t)[/tex].

Prova a capire cosa intendo con:

- Dati un gruppo G e un suo sottogruppo H consideriamo l'omomorfismo naturale [tex]H \to G[/tex].
- Dati due sottogruppi normali [tex]M,N[/tex] di un gruppo G abbiamo l'isomorfismo naturale [tex]G/M \cap N \cong G/M \times G/N[/tex].
- Dati tre gruppi A,B,C, e un omomorfismo [tex]f:A \to B[/tex], consideriamo la funzione ovvia (naturale) [tex]\text{Hom}(B,C) \to \text{Hom}(A,C)[/tex], dove [tex]\text{Hom}(X,Y)[/tex] sta ad indicare l'insieme degli omomorfismi [tex]X \to Y[/tex].
- Dati t gruppi [tex]B_1,...,B_t[/tex] consideriamo l'isomorfismo naturale (di insiemi) [tex]\text{Hom}(A,B_1 \times ... \times B_t) \cong \text{Hom}(A,B_1) \times ... \times \text{Hom}(A,B_t)[/tex].
- Dati un gruppo G, un suo sottogruppo H e un suo sottogruppo normale N consideriamo l'isomorfismo naturale [tex]H/H \cap N \cong HN/N[/tex].

[panurge]

Come dice martino, "naturale" significa "ovvio". Questo è motivo che, storicamente, ha portato a parlare di isomorfismi naturali. In realtà, è possibile spiegare la cosa in termini formali, dando una definizione rigorosa di isomorfismo naturale.

Comincio con un esempio: prendiamo uno spazio vettoriale V e definiamo il suo duale come V*={trasformazioni lineari da V in V}. V* è uno spazio vettoriale, rispetto alle usuali operazioni.
Risulta poi che V e V* sono insomorfi, anche se non esiste in generale alcun isomorfismo abbastanza semplice da poter essere chiamato "naturale". In altri termini, se scegliamo basi diverse per V*, otterremo isomorfismi diversi.

Però se definiamo V** = {trasformazioni lineari da V* in V*} abbiamo che si può definire un isomorfismo da V in V** che non dipende da nessuna scelta particolare: se f è una trasformazione lineare su V, ossia un elemento di V*, allora possiamo associare ad un elemento x di V la sua immagine T(x) in questa maniera

(T(x))(f)=f(x)

Ossia l'immagine attraverso T(x) di f è l'immagine di x attraverso f.
T è un isomorfismo naturale.

Per motivare in maniera ancora più rigorosa la questione servirebbe una certa conoscenza della teoria delle categorie, di cui non ho che una infarinatura da autodidatta. Ricordo di aver letto una frase come la seguente: "la teoria delle categorie è quella scenza che studia i funtori, e i funtori sono quelle cose che bisogna definire per poter parlare di trasformazioni naturali". Dunque credo che, se l'argomento ti interessa, la cosa migliore da fare è andare a sbirciare un po' di teoria delle categorie. Da qualche parte su internet si trovava un libro in pdf che l'autore lascia scaricare gratuitamente.

Ciao!