Isomorfismo fra prodotti semidiretti
Non riesco a dimostrare formalmente questo fatto:
$ZZ//7ZZ \times_{\phi} ZZ//15ZZ$ (prodotto semidiretto di $ZZ//7ZZ$ e $ZZ//15ZZ$ mediante $\phi:ZZ//15ZZ \rrightarrow (ZZ//7ZZ)^{\times}$, omomorfismo definito da $\phi(a)=2^a$)
è isomorfo a $(ZZ//7ZZ \times_{\phi} ZZ//3ZZ) \times ZZ//5ZZ$.
A senso mi torna per il fatto che se $A,B,C$ sono gruppi abeliani vale che $Hom(A \times B, C)$ è isomorfo a $Hom(A,C) \times Hom(B,C)$, e inoltre $ZZ//15ZZ$ è isomorfo a $ZZ//3ZZ \times ZZ//5ZZ$, e infine $Hom(ZZ//5ZZ, (ZZ//7ZZ)^{\times})$ è il gruppo banale perchè $gcd(5,6)=1$.
Questo mi convince abbastanza, ma qualcuno potrebbe dare una dimostrare bella esauriente di questo fatto, ossai definire l'isomorfismo con tutti i crismi? Io non riesco a scriverla. E magari, se ne è aconoscenza, di generalizzazioni?
$ZZ//7ZZ \times_{\phi} ZZ//15ZZ$ (prodotto semidiretto di $ZZ//7ZZ$ e $ZZ//15ZZ$ mediante $\phi:ZZ//15ZZ \rrightarrow (ZZ//7ZZ)^{\times}$, omomorfismo definito da $\phi(a)=2^a$)
è isomorfo a $(ZZ//7ZZ \times_{\phi} ZZ//3ZZ) \times ZZ//5ZZ$.
A senso mi torna per il fatto che se $A,B,C$ sono gruppi abeliani vale che $Hom(A \times B, C)$ è isomorfo a $Hom(A,C) \times Hom(B,C)$, e inoltre $ZZ//15ZZ$ è isomorfo a $ZZ//3ZZ \times ZZ//5ZZ$, e infine $Hom(ZZ//5ZZ, (ZZ//7ZZ)^{\times})$ è il gruppo banale perchè $gcd(5,6)=1$.
Questo mi convince abbastanza, ma qualcuno potrebbe dare una dimostrare bella esauriente di questo fatto, ossai definire l'isomorfismo con tutti i crismi? Io non riesco a scriverla. E magari, se ne è aconoscenza, di generalizzazioni?
Risposte
Ok credo di esserci riuscito, grazie comunque, e credo di aver trovato la generalizzazione di cui questo è un caso particolare. Magari se interessa la posto.
Se hai tempo e voglia posta, magari potrebbe tornare utile in futuro.
Notazione: con [tex]H \times_\phi K[/tex] indico il prodotto semidiretto fra i gruppi [tex]H[/tex] e [tex]K[/tex] con [tex]\phi: K \rightarrow Aut(H)[/tex] omomorfismo di gruppi, e con [tex]H \times K[/tex] il prodotto diretto.
Lemma: Se [tex]A,B,C[/tex] sono tre gruppi, con [tex]C[/tex] abeliano, allora [tex]Hom(A \times B,C) \cong Hom(A,C) \times Hom(B,C)[/tex], mediante la [tex]G(f)= (f \circ i_A, f \circ i_B)[/tex], dove con [tex]i_A[/tex] e [tex]i_B[/tex] indico le immersioni.
Proposizione:
Siano [tex]G,H,K[/tex] tre gruppi, con [tex]G[/tex] abeliano. Allora [tex]G \times_\phi (H \times K) \cong (G \times_{\phi_1} H) \times_{\phi_2} K[/tex] mediante la [tex](g,(h,k)) \mapsto ((g,h),k)[/tex], dove, detto [tex](\tau,\sigma)=(\phi \circ i_H,\phi \circ i_K)[/tex] l'immagine di [tex]\phi[/tex] tramite l'isomorfismo del lemma precedente,
ho posto [tex]\phi_1=\tau[/tex] e [tex]\phi_2:K \rightarrow Aut(G \times_{\phi_1} H)[/tex] definita da [tex]\phi_{2 k}(g,h)=(\sigma_k(g),h)[/tex].
dim:
Che l'applicazione sia bigettiva è ovvio, basta dimostrare che sia un omomorfismo di gruppi, ossia basta mostrare, indicando con [tex]\star[/tex] e [tex]\star \star[/tex] le operazioni binarie nei due gruppi [tex]G \times_\phi (H \times K)[/tex] e [tex](G \times_{\phi_1} H) \times_{\phi_2} K[/tex], e con [tex]\bullet[/tex] l'operazione in [tex]A \times_{\phi_1} H[/tex], che [tex]F[(g,(h,k)) \star (g',(h',k'))]=F[(g,(h,k))]\star \star F[(g',(h',k'))][/tex]. Il primo membro è
[tex]F[(g+\phi_{(h,k)}(g'),(hh',kk'))]=((g+\phi_{(h,k)}(g'),hh'),kk')[/tex], mente il secondo è
[tex]((g,h),k)\star \star ((g',h'),k')=((g,h)\bullet \phi_{2 k}(g',h'),kk')[/tex][tex]=((g,h)\bullet (\sigma_k(g'),h'),kk')=((g+\phi_{1 h}[\sigma_k(g')],hh'),kk')[/tex]
quindi si tratta di dimostrare che
[tex]g+\phi_{1 h}[\sigma_k(g')] = g+\phi_{(h,k)}(g')[/tex], e cio è vero poichè [tex]\sigma_k=\phi_{(e_H,k)}[/tex], [tex]\phi_{1 h}=\tau_h=\phi_{(h,e_K)}[/tex], ed essendo [tex](h,k)=(e_H,k)(h,e_K)[/tex], si ha [tex]\phi_{(h,k)}=\phi_{(e_h,k)} \circ \phi_{(h,e_k})[/tex] poichè la [tex]G[/tex] del lemma è omomorfismo.
Applicazione:
Nel caso del mio primo post, [tex]\phi \circ i_{Z_5}[/tex] è l'omomorfismo che manda tutto in [tex]1[/tex] poichè [tex]gcd(5,6)=1[/tex], da cui [tex]\times_{\phi_2}=\times[/tex].
Commenti e/o correzioni?
Lemma: Se [tex]A,B,C[/tex] sono tre gruppi, con [tex]C[/tex] abeliano, allora [tex]Hom(A \times B,C) \cong Hom(A,C) \times Hom(B,C)[/tex], mediante la [tex]G(f)= (f \circ i_A, f \circ i_B)[/tex], dove con [tex]i_A[/tex] e [tex]i_B[/tex] indico le immersioni.
Proposizione:
Siano [tex]G,H,K[/tex] tre gruppi, con [tex]G[/tex] abeliano. Allora [tex]G \times_\phi (H \times K) \cong (G \times_{\phi_1} H) \times_{\phi_2} K[/tex] mediante la [tex](g,(h,k)) \mapsto ((g,h),k)[/tex], dove, detto [tex](\tau,\sigma)=(\phi \circ i_H,\phi \circ i_K)[/tex] l'immagine di [tex]\phi[/tex] tramite l'isomorfismo del lemma precedente,
ho posto [tex]\phi_1=\tau[/tex] e [tex]\phi_2:K \rightarrow Aut(G \times_{\phi_1} H)[/tex] definita da [tex]\phi_{2 k}(g,h)=(\sigma_k(g),h)[/tex].
dim:
Che l'applicazione sia bigettiva è ovvio, basta dimostrare che sia un omomorfismo di gruppi, ossia basta mostrare, indicando con [tex]\star[/tex] e [tex]\star \star[/tex] le operazioni binarie nei due gruppi [tex]G \times_\phi (H \times K)[/tex] e [tex](G \times_{\phi_1} H) \times_{\phi_2} K[/tex], e con [tex]\bullet[/tex] l'operazione in [tex]A \times_{\phi_1} H[/tex], che [tex]F[(g,(h,k)) \star (g',(h',k'))]=F[(g,(h,k))]\star \star F[(g',(h',k'))][/tex]. Il primo membro è
[tex]F[(g+\phi_{(h,k)}(g'),(hh',kk'))]=((g+\phi_{(h,k)}(g'),hh'),kk')[/tex], mente il secondo è
[tex]((g,h),k)\star \star ((g',h'),k')=((g,h)\bullet \phi_{2 k}(g',h'),kk')[/tex][tex]=((g,h)\bullet (\sigma_k(g'),h'),kk')=((g+\phi_{1 h}[\sigma_k(g')],hh'),kk')[/tex]
quindi si tratta di dimostrare che
[tex]g+\phi_{1 h}[\sigma_k(g')] = g+\phi_{(h,k)}(g')[/tex], e cio è vero poichè [tex]\sigma_k=\phi_{(e_H,k)}[/tex], [tex]\phi_{1 h}=\tau_h=\phi_{(h,e_K)}[/tex], ed essendo [tex](h,k)=(e_H,k)(h,e_K)[/tex], si ha [tex]\phi_{(h,k)}=\phi_{(e_h,k)} \circ \phi_{(h,e_k})[/tex] poichè la [tex]G[/tex] del lemma è omomorfismo.
Applicazione:
Nel caso del mio primo post, [tex]\phi \circ i_{Z_5}[/tex] è l'omomorfismo che manda tutto in [tex]1[/tex] poichè [tex]gcd(5,6)=1[/tex], da cui [tex]\times_{\phi_2}=\times[/tex].
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